1、江苏省常州市前黄中学2019-2020学年高二数学下学期第一次调研考试试题（含解析）（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若，则的值为（ ）A. B. C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】先求导数，再把代入导数可得的值.【详解】因为，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查导数的基本运算，熟记求导公式及法则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数求出，由可求出的值【详
2、解】，由题意可得，因此，故选D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题3.已知离散型随机变量的分布列如下，则（ ）024A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】先计算，再根据公式计算得到【详解】故答案选B【点睛】本题考查了方差的计算，意在考查学生的计算能力.4.函数的单调减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求函数的定义域，再求解导数，令可得减区间.【详解】定义域为，令可得，所以单调减区间为.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数求解单
3、调区间时，要先求函数的定义域，再求解关于导数的不等式可得，侧重考查数学运算的核心素养.5.若展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A. 252B. 70C. D. 【答案】B【解析】由题意可得，所以，则展开式中二项式系数最大的项为第五项，即，故选B.6.3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法总数为（ ）A. 120B. 12C. 60D. 72【答案】D【解析】【分析】先排男生，再把女生排进男生间的空隙，结合分步计数原理可得结果.【详解】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有种排法，所以符合条件的共有种排法.故选：D.【点睛】本题
4、主要考查排列问题，不相邻问题一般是利用插空法进行求解，侧重考查数学建模的核心素养.7.若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分离参数，利用导数求解的单调性，结合图象可求实数的取值范围.【详解】由题意得，设，.当时，为增函数；当时，为减函数,且.所以有最大值，简图如下，由图可知，时符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的性质，作出简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.8.用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的四位数的个数是（ ）A. 360B. 300C. 120D. 180【答案】B
5、【解析】【分析】先排首位，再排其它位数，结合分步计数原理可得结果.【详解】先排首位，共有5种方法；其它位数共有种排法，结合分步计数原理可得共有种方法.故选：B.【点睛】本题主要考查排列问题，特殊位置优先考虑安排，题目较为简单，属于基础题.9.已知函数的导函数为，在上满足，则下列一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数在上的单调性，可得出和的大小关系，由此可得出结论.【详解】令，则.由已知得，当时，.故函数在上是增函数，所以，即，所以故选：A.【点睛】本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查
6、推理能力，属于中等题.10.已知变量，且，若恒成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由可化为，设函数，可得答案.【详解】解：即化为，故在上为增函数，故的最大值为.故选.【点睛】本题主要考查函数的单调性及导数的应用，由已知构造出后求导是解题的关键.11.安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ）A. 100种B. 60种C. 42种D. 25种【答案】C【解析】【分析】给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安
7、排方式的总数.【详解】甲可有3种安排方法，若甲先安排第1社区，则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共；第2社区2个、第3社区安排2个，共；第2社区3个，第3社区安排1个，共；故所有安排总数为.故选：C.【点睛】本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.12.已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可.【详解】由题意,若,显然不是恒大于零,故.,则在上恒成立;当时,等价于,因为,所
8、以.设,由,显然在上单调递增,因为,所以等价于,即,则.设,则.令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减,从而，故.故选:A.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数的图象在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程，化为一般式即可.【详解】由题知，又，所以函数的图象在点处的切线方程为,即.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查导数几何意义的应用，属于基础题.14.设函数，则满足不等式的实数的取值范围是_【答案】【解
9、析】【分析】先利用导数判断的单调性，再结合单调性可求实数的取值范围.【详解】因为，所以为增函数，因为，所以，即；因为的定义域为，所以，解得.故答案为：.【点睛】本题主要考查利用导数求解不等式，用导数判断函数的单调性是求解的关键，忽视函数的定义域是本题的易错点，侧重考查数学抽象的核心素养.15.有7张卡片分别写有数字从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是_【答案】114【解析】【分析】根据题意,按取出数字是否重复分4种情况讨论:、取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4;、取出的4张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2;若取出的4张卡片为2张1和2张2
10、;、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1.分别求出每种情况下可以排出四位数的个数,由分类计数原理计算可得答案【详解】根据题意，分4种情况讨论：(1)取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时=24种顺序,可以排出24个四位数;(2)取出的4张卡片中有2个重复数字,则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1,在2、3、4中取出2个,有种取法,安排在四个位置中,有种情况,剩余位置安排数字1,可以排出312=36个四位数,同理,若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字;(3)若取出的4张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有种情况,剩余位置安排
11、两个2,则可以排出61=6个四位数;(4)取出的4张卡片中有3个重复数字,则重复的数字为1,在2、3、4中取出1个卡片,有 种取法,安排在四个位置中,有 种情况,剩余位置安排1,可以排出34=12个四位数;所以一共有24+36+36+6+12=114个四位数.故答案为:114.【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用,属于难题,有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗
12、漏,这样才能提高准确率,难度较难.16.已知函数方程有五个不相等的实数根，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，结合图象可求实数的取值范围.【详解】当时，当时，函数为增函数；当时，函数为减函数；极大值为，且，；作出函数的图象，如图，方程，则或，由图可知时，有2个解，所以有五个不相等的实数根，只需要，即；故答案为：.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用研究方程根的问题，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.三解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 从4名男生,3名女生中选出三名代表(1)不同的选法共有多少种?(2)
13、至少有一名女生的不同的选法共有多少种?(3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种?【答案】（1）种；（2）31 种；（3）30 种【解析】试题分析：（1）根据题意，要从7人中选出3名代表，由组合数公式可得答案；（2）至少有一名女生包括3种情况，、有1名女生、2名男生，、有2名女生、1名男生，、3名全是女生，由组合数公式可得每种情况的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；（3）由（1）可得，从7人中选出3人的情况有种，从中排除选出的3人都是男生的情况与选出的3人是女生的情况，即可得答案试题解析：（1）即从7名学生中选出三名代表，共有选法种；（2）至少有一名女生的不同选法共有种；（3）男、女
14、生都要有的不同的选法共有种考点：排列、组合的实际应用18.已知，且.（1）求n值；（2）求的值.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）根据，即可求解，即可求得答案；（2）采用赋值法，令求出所有项系数的和，再令，求，即可求得答案.【详解】（1）整理可得：即，故解得：或（舍去）（2）由（1）令，可得令，可得可得【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，属于基础题.19.盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分 . 现从盒内任取3个球（）求取出的3个球中至少有一
15、个红球的概率；（）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（）设为取出的3个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.【答案】()；()；()答案见解析.【解析】本事主要是考查了概率的性质和分布列的期望值的求解的综合运用（）可以求其反面，一个红球都没有，求出其概率，然后求取出的3个球中至少有一个红球的概率，从而求解；（）可以记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，求出事件B和C的概率，从而求出3个球得分之和恰为1分的概率；（）可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，然后再根据期望的公式进行求解；（）. 3分（）记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件，
16、“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件，则. . 6分（）可能的取值为. . 7分，. . 11分的分布列为:0123的数学期望. 12分20.如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，圆弧是以为圆心，半径为的圆弧型小路该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，观光专线有圆弧和线段组成，其中为圆弧上异于的一点，与平行，设，观光专线的总长度为（1）讨论函数的单调性（半径为，圆心角为的扇形的弧长）；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路圆弧的单位成本的2倍当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由【答案】（1）单调递减；（2）时，观光专线的修建总成本最低，理由见解析.【解析】【分析】（1
17、）表示出，结合导数判断单调性；（2）表示出观光专线的修建总成本，结合导数求出最小值.【详解】（1）由题意，所以，又，所以观光专线的总长度，因为当时，所以在上为减函数.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，令得，因，所以.当时，；当时，；所以当时，最小，即当时，观光专线的修建总成本最低.【点睛】本题主要考查导数的实际应用，利用导数解决实际问题时，构建函数模型是求解的前提，然后利用导数工具，求解函数单调性，进而可得最值，侧重考查数学建模的核心素养.21.已知函数.（）（）求证：；（）设，当时，求实数的取值范围；（）当时，过原点分别作曲线与的切线，已知两切线的斜率互为倒数，证明：.【答案】（）（）
18、详见解析；（）；（）详见解析.【解析】【分析】（）（）构造函数，通过求导分析单调性，利用最值即可证明；（）由，当时，利用可得函数单调性从而知成立，当时求导分析单调性找到反例知不成立，从而得解；（）设切线的方程为，切点为，则，可得的的方程为，设与曲线的切点为，通过求导列方程可得，令，求导利用单调性即可证得.【详解】（）（）证明：令，则，所以时，时，所以，即.（），.a.当时，由（）知，所以，所以在上递增，则恒成立，符合题意b当时，令，则，所以在上递增，且，则存在，使得.所以在上递减，在上递增；又，所以不恒成立，不合题意综合a，b可知，所求实数a的取值范围是（）证明：设切线的方程为，切点为，则，所
19、以， 则.由题意知，切线的斜率为，的的方程为.设与曲线的切点为，则，所以，.又因为，消去和a后 ，整理得.令，则，易知在上单调递减， 在上单调递增 若，因为，所以 ，而，在上单调递减，所以.若，因为在上单调递增，且，则，所以（舍去）.综上所述：.【点睛】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力求切线方程的方法：求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.同时也考查了利用导数求解不等式恒成立问题，本题变量分离较为复杂，采
20、用了讨论导函数研究函数单调性的方法，属于难题.22.若函数在处有极值，且，则称为函数“F点”.（1）设函数（）.当时，求函数的极值；若函数存在“F点”，求k的值；（2）已知函数（a，b，）存在两个不相等的“F点”，且，求a的取值范围.【答案】（1）极小值为1，无极大值.实数k的值为1.（2）【解析】【分析】（1）将代入可得，求导讨论函数单调性，即得极值；设是函数的一个“F点”（），即是的零点，那么由导数可知，且，可得，根据可得，设，由的单调性可得，即得.（2）方法一：先求的导数，存在两个不相等的“F点”，可以由和韦达定理表示出，的关系，再由，可得的关系式，根据已知解即得.方法二：由函数存在不相
21、等的两个“F点”和，可知，是关于x的方程组的两个相异实数根，由得，分两种情况：是函数一个“F点”，不是函数一个“F点”，进行讨论即得.【详解】解：（1）当时， （），则有（），令得，列表如下：x10极小值故函数在处取得极小值，极小值为1，无极大值.设是函数的一个“F点”（）.（），是函数的零点.，由，得，由，得，即.设，则，所以函数在上单调增，注意到，所以方程存在唯一实根1，所以，得，根据知，时，是函数的极小值点，所以1是函数的“F点”.综上，得实数k的值为1.（2）由（a，b，），可得（）.又函数存在不相等的两个“F点”和，是关于x的方程（）的两个相异实数根.又，即，从而，即.，解得.所以，实数a的取值范围为.（2）（解法2）因为（ a，b，）所以（）.又因为函数存在不相等的两个“F点”和，所以，是关于x的方程组的两个相异实数根.由得，.（2.1）当是函数一个“F点”时，且.所以，即.又，所以，所以.又，所以.（2.2）当不是函数一个“F点”时，则，是关于x的方程的两个相异实数根.又，所以得所以，得.所以，得.综合（2.1）（2.2），实数a的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求函数极值，以及由函数的极值求参数值等，是一道关于函数导数的综合性题目，考查学生的分析和数学运算能力，有一定难度.