1、江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知集合，的子集个数为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】先求出集合的交集,进而可求得交集的个数.【详解】由题意,故的子集个数为.故选:C.【点睛】集合有个元素,则它的子集有个.2.函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合对数与根号的性质,列出不等式求解即可.详解】由题意可得,解得.故选:B.【点睛】求函数定义域要注意:分母不为零;偶次根式的被开方数非负;对数的真数部分大于零;指数与对数的底数大
2、于零且不等于1;函数中中.3.已知函数与分别由下表给出，则（ ）123439234213A. 4B. 1C. 3D. 9【答案】A【解析】【分析】由表中数据可求得的值,进而可求得的值.【详解】由题意,则.故选:A.【点睛】本题考查求函数的值,利用表格中数据是解决本题的关键,属于基础题.4.己知函数（，且）的图象恒过定点A，则A的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由,将代入函数表达式,可求出答案.【详解】由函数（,且）的图象恒过定点,对函数,令,可得,故函数的图象恒过定点.故选:C.【点睛】本题考查了函数恒过定点,利用指数函数过定点是解决本题的关键,属于基础题.5.函
3、数的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题易得,结合函数零点存在性定理可得到答案.【详解】由题意知,因为,所以是函数的零点所在的一个区间.故选:B.【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题.6.函数的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域,可排除A,C,再由时,可排除B,从而选出答案.【详解】函数的定义域为,可排除A,C;当时,显然只有D符合题意.故选:D.【点睛】本题考查了函数的图象,掌握对数函数的图象性质是解决本题的关键,属于基础题.7.若幂函数的图象经过点，则（ ）A. 9B. C. 3D.
4、 【答案】D【解析】【分析】设出幂函数的解析式,将点代入,可求得的解析式,进而可求得.【详解】由题意,设,则,解得.所以,.故选:D.【点睛】本题考查了幂函数的解析式,考查了求函数的值,属于基础题.8.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性,可比较出的大小.【详解】由指数函数的单调性可得,即,由对数函数的单调性可得, ,即,所以.故选:A.【点睛】本题考查几个数的大小比较,利用指数函数与对数函数的单调性是解决本题的关键,属于基础题.9.已知是定义在上的奇函数，且当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由,结合函数是
5、定义在上的奇函数,可得,求出即可求得答案.【详解】由题意,因为函数是定义在上的奇函数，所以,当时，则,故.故选:C.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用,考查对数式的运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.10.“弯弓射雕”描述的是游牧民族的豪迈气氛，当弓箭以每秒a米的速度从地面垂直向上射箭时，t秒时弓箭距离地面的高度为x米，可由确定，已知射箭3秒时弓箭距离地面的高度为135米，则可能达到的最大高度为（ ）A. 135米B. 160米C. 175米D. 180米【答案】D【解析】【分析】将,代入,可求得的值,进而结合二次函数的性质,可求得的最大值.【详解】由题意,当时,代入,可得,解得,则,当时
6、,取得最大值.故选:D.【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用,利用二次函数在对称轴处取得最值是解决本题的关键,属于基础题.11.已知函数的定义域为，对于任意，都满足，且对于任意的，当时，都有，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得,函数是定义在上的偶函数,在上单调递减,在上单调递增,结合,可得,求解即可.【详解】由题意,函数对于任意的，当时，都有,则函数在上单调递减,又定义域为,且满足，即函数为偶函数,故函数在上单调递增.由,可得,即或者,解得或.故选:D.【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的应用,考查了不等式的解法,属于基础题.12.已知
7、函数，两者的定义域都是，若对于任意，存在，使得，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为（ ）A. 3B. C. D. 13【答案】C【解析】【分析】结合“兄弟函数”的定义,可求得在时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得的解析式,进而可求得在区间的最大值.【详解】由题意,易知在上单调递减,在上单调递增,则在上的最小值为.所以在时取得最小值3.故函数满足,解得,则,故当时,取得最大值为.故选:C.【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.二、填空题：共4题，每题5分，共20分13.若集合，且，则实数m的
8、取值范围为_.【答案】.【解析】【分析】先求得集合,再由可列出不等式,进而可求得答案.【详解】由题可知,因为,所以,即.故答案为:.【点睛】本题考查了集合的包含关系的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.14.已知函数在R上为偶函数，且时，则当时，_.【答案】【解析】【分析】当时,可求得的表达式,再由在R上为偶函数,可得,从而可求出时,的表达式.【详解】当时,则,又函数在R上为偶函数,则,故当时,.故答案为:.【点睛】本题考查了函数解析式的求法,利用函数的奇偶性是解决本题的关键,属于基础题.15.已知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】结合是否等于0进行分
9、类讨论,再结合一次函数与二次函数的性质可求得答案.【详解】当时,是上的增函数,显然符合题意;当时,是二次函数,由函数在上是单调递增函数,可得,解得.综上,实数a的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查了函数单调性的应用,考查了一次函数与二次函数的性质,属于基础题.16.已知，函数，若对于任意的，恒成立，则实数a的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】分和两种情况分类讨论,结合二次函数的性质可求得a的范围.【详解】对于任意的,恒成立,当时,即,因为,所以,则;当时,即,令,则在上单调递增,在上单调递减,故,则.所以,实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了分段函数性质,利用参变分离及二次函数的性
10、质是解决本题的关键,属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分17.（1）已知，化简：；（2）求值：【答案】（1）7；（2）3.【解析】【分析】（1）结合根式的性质及指数幂的运算性质,化简即可;（2）结合对数的运算性质,进行化简即可.【详解】（1）,又,.,.（2）.【点睛】本题考查了指数式、对数式的化简求值,考查了学生的计算能力,属于基础题.18.设，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由集合可求得,再由可得到集合,然后将集合与取并集即可;（2）由可知,进而可得,求解即可.【详解】（1）由,则或,则,所以.（2）由,则,可得,解得.所
11、以实数的取值范围是.【点睛】本题考查了集合间的运算,考查了子集的性质,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.19.已知函数是奇函数.（1）求实数m的值；（2）求证：函数在上是单调增函数.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域,再由是奇函数,可得对于定义域内的任意恒成立,即,从而可求得实数m的值;（2）利用定义法证明单调性即可,需要注意“作差”、“变形”、“定号”、“下结论”几个步骤.【详解】（1）由题意,解得,所以的定义域为,由是奇函数,则对于定义域内的任意恒成立.则,即,即,则,因为该式对于定义域中的任意都成立,所以.经检验,时,是奇函数. （2）证明:在内任取
12、,且, ,在上单调递增.【点睛】本题考查了奇函数的性质的应用,考查了函数单调性的证明,考查了学生的推理能力,属于基础题.20.甲、乙两家鞋帽商场销售同一批品牌运动鞋，每双标价为800元，甲、乙两商场销售方式如下：在甲商场买一双售价为780元，买两双每双售价为760元，依次类排，每多买一双则所买各双售价都再减少20元，但每双售价不能低于440元；乙商场一律按标价的75%销售.（1）分别写出在甲、乙两商场购买双运动鞋所需费用的函数解析式和；（2）某单位需购买一批此类品牌运动鞋作为员工福利，问：去哪家商场购买花费较少？【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】（1）结合甲商场的销售方式,可得时,
13、去甲商场购买的单价为元,时，去甲商场购买的单价为440元;去乙商场购买单价为元,进而可求出和的解析式;（2）分和两种情况,讨论和的大小关系,即可求出答案.【详解】（1）由题意,由,可得当时,去甲商场购买运动鞋的单价为元,此时所需费用为;当时，去甲商场购买运动鞋的单价为440元,所需费用为元;去乙商场购买运动鞋单价一直为元,所需费用为元.则,.（2）当且时,成立;当且时,令,解得,令,解得,令,解得,所以,该单位购买少于10双，去乙商场花费较少，若购买10双，则去两家商场花费相同，若购买超过10双，则去甲商场花费较少.【点睛】本题考查了实际问题,考查了分段函数的性质,考查了不等式的性质,考查了学
14、生的计算求解能力,属于中档题.21.已知函数.（1）当时，作出函数的图象；（2）是否存在实数a，使得函数在区间上有最小值8，若存在求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）图象见解析；（2）存在或满足条件，理由见解析.【解析】【分析】（1）将代入,去绝对值,然后做出函数图象即可;（2）分,和三种情况,结合二次函数的性质讨论函数在上的最小值,令其等于8,可求出答案.【详解】（1）当时,图象见下图:（2）假设存在实数,使得函数在区间上有最小值8,.当时,函数的对称轴为，在上单调递增,解得,符合题意;当时,不可能有最小值8（舍去）;当时,是开口向下的二次函数,对称轴为,只需比较和的大小,若,此
15、时在时取得最小值,即,解得,不符合题意,舍去;若,此时在时取得最小值,即,解得,符合题意.综上,或.【点睛】本题考查了分段函数和二次函数的性质的应用,考查了分类讨论的数学思想,考查了学生的推理能力,属于难题.22.对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：在内是单调函数；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.（1）求证：是函数的一个“优美区间”.（2）求证：函数不存在“优美区间”.（3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】分析】（1）结合“优美区间”的定义,可证明结论;（2）若函数存在“优美区间”,可得函数
16、在上单调递减,从而可得,联立可推出矛盾,即可证明结论;（3）函数有“优美区间”,结合单调性可得,联立可求得的关系,进而可求得的最大值.【详解】（1）在区间上单调递增,又,的值域为,区间是的一个“优美区间”. （2）设是已知函数的定义域的子集.由,可得或,函数在上单调递减.若是已知函数的“优美区间”,则,两式相减得,则,则,显然等式不成立,函数不存在“优美区间”.（3）设是已知函数定义域的子集.由,则或,而函数在上单调递增.若是已知函数的“优美区间”,则,是方程，即的两个同号且不等的实数根.,同号,只须,解得或,当时,取得最大值.【点睛】本题考查了新定义,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.