1、第十五章复数综合能力测试()本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。第卷(选择题共100分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1(2009山东)复数等于()A12iB12iC2iD2i答案：C解析：2i.故选C.2(2009宁夏、海南)复数()A0 B2 C2i D2i答案：D解析：ii2i.3(2009陕西)已知z是纯虚数，是实数，那么z等于()A2i Bi Ci D2i答案：D解析：由题意得zai.(aR且a0)，则a20，a2.有z2i，故选D.4(2009武汉市
2、高三年级2月调研考试)若f(x)x3x2x1，则f(i)()A2iB0C2iD2答案：B解析：依题意，f(i)i3i2i1i1i10，选择B.5(2009北京朝阳4月)复数z(i是虚数单位)在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D解析：zi，它对应的点在第四象限，故选D.6(2009北京东城3月)若将复数表示为abi(a，bR，i是虚数单位)的形式，则的值为()A2 B C2 D.答案：A解析：12i，把它表示为abi(a，bR，i是虚数单位)的形式，则的值为2，故选A.7(2009北京西城4月)设i是虚数单位，复数ztan45isin60，则z2等于()
3、A.i B.iC.i D.i答案：B解析：ztan45isin601i，z2i，故选B.8(2009黄冈中学一模)过原点和i在复平面内对应的直线的倾斜角为()A. BC. D.答案：D解析：i对应的点为(，1)，所求直线的斜率为，则倾斜角为，故选D.9设a、b、c、dR，若为实数，则()Abcad0 Bbcad0Cbcad0 Dbcad0答案：C解析：因为i，所以由题意有0bcad0.10已知复数z12i，那么()A.i B.iC.i D.i答案：D解析：由z12i知12i，于是i.故选D.11已知复数z13bi，z212i，若是实数，则实数b的值为()A6 B6 C0 D.答案：A解析：是实
4、数，则实数b的值为6，故选A.12(2009广东)设z是复数，(z)表示满足zn1的最小正整数n，则对虚数单位i，(i)()A2 B4 C6 D8答案：B解析：(i)表示in1的最小正整数n，因i4k1(kN*)，显然n4，即(i)4.故选B.13若zi，且(xz)4a0x4a1x3a2x2a3xa4，则a2等于()Ai B33iC63i D33i答案：B解析：Tr1Cx4r(z)r，由4r2得r2，a2C(z)26(i)233i.故选B.14若ABC是锐角三角形，则复数z(cosBsinA)i(sinBcosA)对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：B解析：ABC
5、为锐角三角形，AB90，B90A，cosBsinA，sinBcosA，cosBsinA0，sinBcosA0，z对应的点在第二象限15如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于()A. B. C D2答案：C解析：i由得b.16设函数f(x)x55x410x310x25x1，则f(i)的值为 ()Ai B.iC.i Di答案：C解析：f(x)(x1)5f(i)(i1)55(其中i)(i)i.17若i是虚数单位，则满足(pqi)2qpi的实数p，q一共有()A1对 B2对 C3对 D4对答案：D解析：由(pqi)2qpi得(p2q2)2pqiqpi，所以解得或或或因
6、此满足条件的实数p，q一共有4对总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特别注意不要出现漏解现象，如由2pqp应得到p0或q.18已知()6的展开式中，不含x的项是，那么正数p的值是()A1 B2 C3 D4答案：C解析：由题意得：C22，求得p3.故选C.总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含x的项，即找常数项19复数zlg(x22)(2x2x1)i(xR)在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：C解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是一一对应的关系
7、，即zabi，与复平面上的点Z(a，b)对应，由zlg(x22)(2x2x1)i(xR)知：alg(x22)0，又2x2x12110；(2x2x1)0，即b0.(a，b)应为第三象限的点，故选C.20设复数zi(zC)在映射f下的象为复数z的共轭复数与i的积，若复数在映射f下的象为12i，则相应的为()A2 B22i C2i D2i答案：A解析：令abi，a，bR，则a(b1)ii，映射f下的象为a(b1)ii(b1)ai12i.解得2.第卷(非选择题共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。)21(2009崇文3月)已知z是复数，i是虚数单位，若(
8、1i)z2i，则z_.答案：1i解析：(1i)z2i，z1i.22(2009上海)若复数z满足z(1i)1i(i是虚数单位)，则其共轭复数_.答案：i解析：zi，i.23(2009江苏)若复数z1429i，z269i，其中i是虚数单位，则复数(z1z2)i的实部为_答案：20解析：(z1z2)i(220i)i202i，故(z1z2)i的实部为20.24(2009海淀4月)在复平面内，复数(aR)对应的点位于虚轴上，则a_.答案：0解析：ai，由于它对应的点在虚轴上，则a0.25(2009安徽宿州二中模拟考三)i是虚数单位，则1CiCi2Ci3Ci4Ci5Ci6_.答案：8i解析：1CiCi2C
9、i3Ci4Ci5Ci6(1i)6(1i)23(2i)38i.三、解答题(本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)26(本小题满分10分)计算下列问题：(1)；(2)(i)12()8.分析：对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式是知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速简捷、少出错的效果比如(1i)22i，i，i，i，bai，(i)31，(i)31等等解析：(1)原式(1i)23(1i)23(2i)3i(2i)3(i)881616i16i.(2)(i)12()8i12(i)128(i)341(2i)4(i)188i78i.27(本小题满分10分)求
10、同时满足下列两个条件的所有复数z；(1)1z6；(2)z的实部和虚部都是整数解析：设zxyi(x，yR)，则zi.1z6，由得y0或x2y210，将y0代入得1x6，与x26(x0)矛盾，y0.将x2y210代入得x3.又x，y为整数，或故z13i或z3i.28(本小题满分10分)已知z1a(a1)i，z23b(b2)i(a0、b0)且3zz0，求z1和z2.解析：3zz0，()23，即i.z2iz1.当z2iz1时，得3b(b2)iia(a1)i(a1)ai.由复数相等的条件，知z13i，z233i.当z2iz1时，得3b(b2)i(a1)ai，由复数相等的条件，知已知a，b(0，)，此时适合条件的a，b不存在z13i，z233i.