1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.了解椭圆标准方程的推导(难点)2.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程(重点、易混点)3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆.1.通过椭圆标准方程的推导，培养数学运算素养2.借助定义法求方程，提升直观想象素养.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图象焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系a2b2c21已知椭圆的焦点为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.1B.y21C.1 D.x21A由题意知c1，a2，
2、b2a2c23.椭圆的方程为1.2椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1C由题意知c8,2a20，a10，b2a2c236，故椭圆的方程为1.3设椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上任意一点，则PF1F2的周长为()A9B13C15D18D由题意得PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|10818.4椭圆1上一点P到它的一个焦点的距离等于2，那么点P到另一个焦点的距离等于_2由椭圆的方程可知a24，所以a2.由椭圆的定义可得点P到另一个焦点的距离等于2a2422.求
3、椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(，2)和点B(2，1)解(1)由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0)a5，c4，b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0)a2，b1.故所求椭圆的标准方程为x21.(3)法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解
4、得因为ab0，所以无解所以所求椭圆的标准方程为1.法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为1.1利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程2当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)因为它包括焦点在x轴上(mn)或焦点在y轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算1已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点A(0，2)和B，求椭圆的标准方程解设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，将A，B两点
5、坐标代入方程得解得所求椭圆方程为x21.椭圆中的焦点三角形问题【例2】(1)椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则F1PF2的大小为_(2)已知椭圆1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且PF1F2120，则PF1F2的面积为_思路探究(1)(2)(1)120(2)(1)由1，知a3，b，c.|PF2|2a|PF1|2，cosF1PF2，F1PF2120.(2)由1，可知a2，b，所以c1，从而|F1F2|2c2.在PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cosPF1F2，即|PF2|2|PF1|242|PF1|.由椭
6、圆定义得|PF1|PF2|2a4.由联立可得|PF1|.所以SPF1F2|PF1|F1F2|sinPF1F22.1椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.2椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2，称为焦点三角形在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|MF2|2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解2(1)已知P是椭圆1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF230，则F1PF2的面积是_84由椭圆
7、的标准方程，知a，b2，c1，|F1F2|2.又由椭圆的定义，知|PF1|PF2|2a2.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，即420(2)|PF1|PF2|，|PF1|PF2|16(2)SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF216(2)84.(2)设P是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若PF1F290，则F1PF2的面积是_由椭圆方程1，知a2，c1，由椭圆定义，得|PF1|PF2|2a4，且|F1F2|2，在PF1F2中，PF1F
8、290.|PF2|2|PF1|2|F1F2|2.从而(4|PF1|)2|PF1|24，则|PF1|，因此SPF1F2|F1F2|PF1|.故所求PF1F2的面积为.与椭圆有关的轨迹问题探究问题1.如图，P为圆B：(x2)2y236上一动点，点A的坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程提示：用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.所求点Q的轨迹方程为1.2.如图，在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足当点P
9、在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程是什么？为什么？提示：当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用代入法(相关点法)求解用代入法(相关点法)求轨迹方程的基本步骤为：(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M(x，y)，已知曲线上动点坐标为P(x1，y1)(2)求关系式：用点M的坐标表示出点P的坐标，即得关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可所求点M的轨迹方程为y21.【例3】(1)已知P是椭圆1上一动点；O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为_(2)一个动圆与圆Q1：(x3)2y21外切，与圆Q2：(x3)2y281内切，试求这个
10、动圆圆心的轨迹方程思路探究(1)点Q为OP的中点点Q与点P的坐标关系代入法求解(2)由圆的相切，及动圆圆心与两个定圆圆心、半径的关系得轨迹x21.(1)设Q(x，y)，P(x0，y0)，由点Q是线段OP的中点知x02x，y02y，又1.所以1，即x21.(2)由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1(3,0)，R11；Q2(3,0)，R29.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，如图由题设有|MQ1|1R，|MQ2|9R，所以|MQ1|MQ2|10|Q1Q2|6.由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a5，c3.所以b2a2c225916，故动圆圆心的轨迹方程为1.1与椭圆有关的轨迹
11、方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法例(2)所用方法为定义法2对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法3代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)3(1)已知
12、x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆y21上任一点，求线段AQ中点M的轨迹方程解设中点M的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(x0，y0)利用中点坐标公式，得Q(x0，y0)在椭圆y21上，y1.将x02x1，y02y代入上式，得(2y)21.故所求AQ的中点M的轨迹方程是24y21.(2)在RtABC中，CAB90，|AB|2，|AC|，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且|PA|PB|是定值建立适当的平面直角坐标系，求曲线E的方程解以AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知，曲线E是以A，B为焦点，且过点C的椭圆，设其方程为1(ab0)则2a|AC|BC|4,2c|AB|2，
13、所以a2，c1，所以b2a2c23.所以曲线E的方程为1.1对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法2用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2By21(A0，B0，AB)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆的标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关于原点对称()(2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2.()(3)方程1(m0，n0)是椭圆的方程()(4)椭圆1的焦点在x轴上()(5)设椭圆y21的焦
14、点为F1，F2，P是椭圆上一点，则PF1PF22.()(6)椭圆1的焦点坐标是(2,0)()解析(1)(2)明显正确；(3)1中，当mn0时方程表示圆，故错误；(4)方程y2的分母大于x2的分母，故椭圆的焦点在y轴上，故错误；(5)方程y21中，a2，所以PF1PF24.所以错误；(6)因为a2b21284，所以c2，即焦点坐标为(2，0)，故正确答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是()A1B2C3D4B椭圆方程可化为x21，由题意知，解得k2.3已知椭圆1上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|PF2|_.48由题意知2得2|PF1|PF2|96.所以|PF1|PF2|48.4已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4,3)若F1AF2A，求椭圆的标准方程解设所求椭圆的标准方程为1(ab0)设焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)F1AF2A，0，而(4c,3)，(4c,3)，(4c)(4c)320，c225，即c5.F1(5,0)，F2(5,0)2a|AF1|AF2|4.a2，b2a2c2(2)25215.所求椭圆的标准方程为1.- 12 - 版权所有高考资源网
