1、31.4空间向量的坐标表示1.掌握空间直角坐标系的概念，会表示点和向量的坐标2会用空间向量的坐标进行线性运算；会用向量坐标判定两向量平行1空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使axiyjzk，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a(x，y，z)2空间向量的坐标运算法则(1)设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(2)若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，
2、z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)也就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标3空间向量平行(或共线)的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a0)b1a1，b2a2，b3a3(R)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知A(3，2，3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是(3，2，3)()(2)若向量的坐标为(x，y，z)，则点P的坐标也为(x，y，z)()(3)在空间直角坐标系Oxyz中向量的坐标就是B点坐标减去A点坐标()答案：(1)(2)(3)2与向量m(0，1，2)共线的向量是()A(2，0，4)B(3，6，12)
3、C(1，1，2) D.答案：D3已知正方体OABCOABC的棱长为1，若以，为基底，则向量的坐标是_答案：(1，1，1)4已知在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中aij，bjk，cki，则在基底i，j，k下的坐标为_解析：8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，所以在i，j，k下的坐标为(12，14，10)答案：(12，14，10)空间向量的坐标表示在直三棱柱ABOA1B1O1中，AOB，|4，|2，|4，D为A1B1的中点，与，同向的单位向量分别记为i，j，k，现分别以i，j，k为单位正交基底建立空间直角坐标系，试求，的坐标【解】建立如图所示的空间直角坐标系，
4、易得A(4，0，0)，B(0，2，0)，O1(0，0，4)，A1(4，0，4)，B1(0，2，4)，O(0，0，0)，又D为A1B1的中点，所以D(2，1，4)，故(02，01，04)(2，1，4)，(04，20，04)(4，2，4)求向量的坐标，应先找到向量起点和终点的坐标，若没有空间直角坐标系，应先建系 1.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB，PC的三等分点且PN2NC，AM2MB，PAAB1，试建立适当的坐标系，求的坐标解：因为PAABAD1，且PA垂直于平面ABCD，ADAB，所以建立如图所示的空间直角坐标系易得A(0，0，0)，B(0，1，0)，D(1，0，0)
5、，C(1，1，0)，P(0，0，1)，又因为PN2NC，AM2MB，所以N，M，所以.空间向量的坐标运算设向量a(3，5，4)，b(2，1，8)，计算2a3b，3a2b的值【解】因为a(3，5，4)，b(2，1，8)，所以2a3b2(3，5，4)3(2，1，8)(6，10，8)(6，3，24)(12，13，16)，3a2b3(3，5，4)2(2，1，8)(9，15，12)(4，2，16)(94，152，1216)(5，13，28)所以2a3b(12，13，16)，3a2b(5，13，28)关于向量坐标运算应熟记运算公式，同时注意运算的准确性 2.已知A(2，4，1)、B(1，5，1)、C(3，
6、4，1)、O(0，0，0)，令a，b，则ab_解析：a(2，4，1)(3，4，1)(1，0，2)，b(1，5，1)(3，4，1)(4，9，0)，所以ab(1，0，2)(4，9，0)(5，9，2)答案：(5，9，2)空间向量平行的坐标表示设a(1，5，1)，b(2，3，5)若(kab)(a3b)，求k.【解】kab(k2，5k3，k5)，a3b(13(2)，533，135)(7，4，16)因为(kab)(a3b)，所以，解得k.判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的平行转化为向量的平行；(2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)
7、，根据(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行3.(1)若a(3，2，4)，b(6，m，8)，且ab，则m_(2)若四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，5，1)，C(3，7，5)，则顶点D的坐标为_答案：(1)4(2)(5，13，3)空间向量坐标表示注意点(1)空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为e1，e2，e3，be1e2ke3，则b的坐标为(，k)(2)点的坐标反映了点在空间直角坐标系中的位置，而向量的坐标实质上是该向量在标准正交基底下的分解式的一种简化表示，它也能间接反映向量的方向与大小在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱
8、柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，的坐标【解】分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则A，A1，B1，C1，所以(0，0，2)，.(1)建系时，误认为与垂直，从而以A为原点，以，方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系导致错误(2)建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线，如若找不到，要想办法去构造(3)同一几何图形中，由于建立的空间直角坐标系不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但本质是一样的1已知e1，e2，e3是空间直角坐标系中分别与x轴、y轴
9、、z轴同向的单位向量，且pe12e23e3，则p的坐标是_答案：(1，2，3)2已知a(1，0，2)，b(6，21，2)若ab，则_，_答案：53若点A(1，2，3)，B(3，2，7)，且0，则点C的坐标为_答案：(1，2，5) A基础达标1在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是()A向量与点B的坐标相同B向量与点A的坐标相同C向量与向量的坐标相同D向量的坐标与向量的坐标相同解析：选D.在同一空间直角坐标系中，某一向量的坐标是惟一确定的，即.2已知a(1，0，1)，b(2，1，1)，c(3，1，0)，则ab2c()A(9，3，0)B(0，2，1)C(9，3，0) D(9，0，0)解析：选
10、C.ab2c(1，0，1)(2，1，1)(6，2，0)(3，1，0)(6，2，0)(9，3，0)3已知点A(1，3，1)，B(1，3，4)，若2，则点P的坐标是()A(1，3，3) B(1，3，3)C(1，3，3) D(1，3，3)解析：选B.设点P(x，y，z)，则由2，得(x1，y3，z1)2(1x，3y，4z)，则解得即P(1，3，3)4已知a(1，2，y)，b(x，1，2)，且(a2b)(2ab)，则()Ax，y1 Bx，y4Cx2，y Dx1，y1解析：选B.由题意知，a2b(2x1，4，4y)，2ab(2x，3，2y2)因为(a2b)(2ab)，所以存在实数，使a2b(2ab)，所
11、以解得如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为_，的坐标为_，的坐标为_解析：因为A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C1(1，1，1)，B1(1，0，1)，所以(1，0，0)，(1，0，1)，(1，1，1)答案：(1，0，0)(1，0，1)(1，1，1)已知A(1，2，7)，B(3，10，9)，则向量的坐标为_解析：(2，12，16)(1，6，8)答案：(1，6，8)已知点A(1，1，3)，B(2，2)，C(3，3，9)三点共线，则实数_，_解析：因为(1，1，23)，(2，2，6)，由A，B，C三点共线，得，即，解得0
12、，0.答案：00已知a(2，3mn，mn)，b(1，m2n，mn1)若(ab)(ab)，求mn的值解：ab(3，4m3n，2m1)，ab(1，2mn，2n1)因为(ab)(ab)，所以必存在实数，满足ab(ab)，即(3，4m3n，2m1)(1，2mn，2n1)所以解得所以mn.已知点O，A，B，C的坐标分别为(0，0，0)，(2，1，2)，(4，5，1)，(2，2，3)(1)求点D的坐标，使与相等；(2)求点E的坐标，使()解：(1)设点D的坐标为(x1，y1，z1)，则(x1，y1，z1)易知(2，6，3)，(4，3，1)于是(2，9，2)已知与相等，所以(2，9，2)则x12，y19，z
13、12，即点D的坐标为(2，9，2)(2)设点E的坐标为(x2，y2，z2)，则(x2，y2，z2)由，的坐标，得()，所以x23，y2，z22，即点E的坐标为.B能力提升在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(9，3，4)，B(9，2，1)，则与线段AB平行的坐标平面是_解析：(0，5，3)，所以平面yOz.答案：平面yOz已知向量a(1，2，3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为_解析：由已知得ab，所以，所以把代入得：x2x20，解之得：x2或x1，当x2时，y6，当x1时y3.当时，b(2，4，6)2a，此时a，b反向，不合题意舍去当时，b(1，2，3)a，此时a，
14、b同向所以x1，y3.答案：1，3已知A(2，0，6)、B(3，1，12)、C(0，3，7)、D(5，2，13)，求证：A、B、C、D四点共面证明：(5，1，6)，(2，3，1)，(7，2，7)易得与不共线，假设存在一组有序实数(x，y)使xy，则(7，2，7)x(5，1，6)y(2，3，1)所以所以x1，y1.所以、共面所以A、B、C、D四点共面(选做题)如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1B1C11，A1B1C190，AA14，BB12，CC13，设点O是AB的中点，试建立适当的空间直角坐标系，写出点A、B、C、O的坐标解：如图以B1为原点，以B1C1、B1A1、B1B分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系；由直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截(截面为ABC)及AA14，BB12，CC13得A、B、C的竖坐标分别是4、2、3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A1、B1、C1的相同，结合A1B1B1C11得A(0，1，4)，B(0，0，2)，C(1，0，3)；因为O是AB的中点，故点O的竖坐标是3，而它的横坐标和纵坐标与A1B1的中点的横坐标和纵坐标相同，故O.