1、3.4.2函数模型及其应用第1课时函数模型1.了解常见的六种函数模型的解析式及其性质2.理解直线上升，指数增长，对数增长等不同函数的增长的含义3掌握建立函数模型的一般方法 学生用书P671常见函数模型名 称解析式条 件一次函数模型ykxbk0反比例函数模型ybk0二次函数模型一般式：yax2bxc顶点式：yaa0指数函数模型ybaxca0且a1，b0对数函数模型ymlogaxna0且a1，m0幂函数模型yaxnba02.函数模型的确定(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系(2)利用待定系数法，确定具体函数模型(3)对所选定的函数模型进行适当的评价、比较，并选择最恰当的模型
2、(4)根据实际问题对模型进行适当的修正3四类函数的增长差异y2x，yx2，y2x，ylog2x在(0，)上的增长有明显的不同(如图)y2x，直线上升，为匀速增长，其增长量固定不变；yx2，沿抛物线上升，其增长速率越来越快，随着自变量的不断增长，yx2的增长量与y2x的增长量的差距越来越大；y2x沿指数曲线上升，这种指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法比的随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容ylog2x沿对数曲线上升，这种对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上
3、升的速度一般地，函数ykx(k0)，呈直线上升，yxn(nN*，n2)呈幂增长，yax(a1)为指数增长，ylogax(a1)为对数增长1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx2比y2x增长的速度更快些()(2)当a1，n0时，在区间(0，)上，对任意的x，总有logaxxnb4某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是_答案：y2x(xN*)函数模型的增长差异学生用书P68函数f(x)1.1x，g(x)ln x1，h(x)x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，e，a，b，c，d
4、为分界点)【解】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)x，曲线C3对应的函数是g(x)ln x1.由题图知，当0xh(x)g(x)；当1xg(x)h(x)；当exf(x)h(x)；当axh(x)f(x)；当bxg(x)f(x)；当cxf(x)g(x)；当xd时，f(x)h(x)g(x)指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断 (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓
5、的函数是对数函数 1.函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图所示(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点x1，x2为分界点且x1x2，对f(x)，g(x)的大小进行比较)解：(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当0xf(x)；当x1xg(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或xx2时，f(x)g(x)数据信息类函数模型的拟定学生用书P68某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份2016201720
6、18产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？【解】建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)(1)构造二次函数模型f(x)ax2bxc(a0)，将点坐标代入，可得解得a1，b7，c0，则f(x)x27x，故f(4)44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g(x)abxc(a0，b0，b1)，将点坐标代入，可得解得a，b，c4
7、2，则g(x)42，故g(4)4244.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，f(x)x27x模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系不同函数模型的拟定标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x的变化的数据如下表x151015202530y1226101226401626901y22321 02432 7681.0510
8、63.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是_解析：从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化答案：y2图形信息类函数模型的拟定学生用书P69某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A
9、产品的利润与投资成正比，其关系如图所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图所示(单位：万元) 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式【解】设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元由题意设f(x)k1x，g(x)k2.由图知f(1)，所以k1.由图知g(4)，所以k2.所以f(x)x(x0)，g(x)(x0)用函数图象分析函数模型是一种常见的题型，是高考中一道亮丽的风景线主要考查学生识图的能力，利用图象信息分析问题和解决问题的能力这类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值等)，即可
10、得到完美的解决为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜解：(1)设y1k1x29，y2k2x，把点B(300，35)，C(300，15)分别代入得k1，k2.所以y1x29，y2x.(2)令y1y2，即x29x，得x966.当x966时，两种卡收费一致；当x966时，y1y2，即“如意卡”便宜；当x966时，y1y2，即“便民卡”便宜四类不同增长的函数模型(
11、1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型(2)增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数函数模型(3)增长速度较慢的函数模型是对数函数模型(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型某厂两年内每月产值的增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的产值增长了多少？解不妨设去年2月份的产值是b，则去年3月份的产值是b(1a)，去年4月份的产值是b(1a)2，故今年2月份的产值是b(1a)12，所以这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的产值增长了(1a)121.(1)本题易对增长率问题的公式yN(1P)x未能理解透彻，而造成指数写错事实上，指数x是基数所在时间与所跨过的时间的间隔数(2)
12、解答应用题的关键在于审题，而要准确理解题意，又必须过好三关：事理关：通过阅读、理解明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化构建了数学模型之后，要真正解决数学问题，就需要具备扎实的基础知识和较强的数理能力1下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是()Ay50By1 000xCy0.42x1 Dyex解析：选D.指数函数yax，在a1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D.2三个变量y1，y2
13、，y3随着变量x的变化情况如下表：x1357911y151356251 7153 6456 655y25292452 18919 685177 149y356.106.616.957.27.4则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，幂函数型函数变化的变量依次为()Ay1，y2，y3By2，y1，y3Cy3，y2，y1 Dy1，y3，y2解析：选C.通过指数型函数，对数型函数，幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.3现测得(
14、x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：yx21，乙：y3x1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用_作为函数模型解析：把x1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好答案：甲学生用书P121(单独成册)A基础达标1某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()A一次函数B幂函数C指数型函数 D对数型函数解析：选D.初期增长迅速，后来增长越来越慢，可用对数型函数模型来反映y与x的关系，故选D.2甲、乙两人在一次赛跑
15、中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相同D甲先到达终点解析：选D.从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点3某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(双)的关系式为y5x4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A200双 B400双C600双 D800双解析：选D.要使该厂不亏本，只需10xy0，即10x(5x4 000)0，解得x800.4若x(0，1)，则下列结论正确的是()A2xxlg x
16、 B2xlg xxCx2xlg x Dlg xx2x解析：选A.结合y2x，yx及ylg x的图象易知，当x(0，1)时，2xxlg x.5四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(i1，2，3，4)和时间x(x1)的函数关系分别是f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()Af1(x)x2 Bf2(x)4xCf3(x)log2x Df4(x)2x解析：选D.显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4(x)2x，故选D.某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流
17、尽，油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为_解析：流速为，x分钟可流x，则y22x(0x200)答案：y22x(0x200)7有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L 水，t min后，剩余水y L满足函数关系yaent，那么乙桶的水就是yaaent，假设经过5 min，甲桶和乙桶的水相等，则再过_min，甲桶中的水只有 L.解析：由题意可得，5 min时，ae5na，nln 2，那么aeln 2a，所以t15，即再过10 min，甲桶中的水只有 L.答案：108.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：yat，有以下叙述：这个指
18、数函数的底数是2；第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2；浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；浮萍每个月增加的面积都相等其中正确的是_解析：由题意知图象单调递增，底数大于1，又过点(2，4)，故对；令t5，得y253230，故对；若浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过的时间是1.5个月，则有1223.5，因为23.5812，故错；由指数函数模型的图象上升特征，可知错答案：9一批商品按期望获得50%的利润定价，结果只销售出70%的商品，为了尽早销售剩下的商品，商场决定按定价打折出售，这样所获得的全部利润是原来所期望利润的82%，问打几折？解：设商品的成本价为a，商品打x折，由题
19、意，得30%0.5a82%0.5a70%，解得x8.即商品打八折10.如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m，AB10 m，BC2.4 m现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4 m，宽为 2 m 的装有集装箱的汽车要通过隧道问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道右壁多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁)?解：分析已知条件，得抛物线顶点坐标为(5，2.5)，C点坐标为(10，0)设抛物线方程为ya(x5)22.5，把(10，0)代入，得0a(105)22.5，解得a.所以y(x5)22.5.当
20、y42.41.6时，1.6(x5)22.5，解得x18，x22.显然x22不合题意，舍去所以x8.OCx1082(m)故汽车的右侧离隧道右壁至少2 m，才不至于碰到隧道顶部B能力提升某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是_解析：由题意得3 860500500(1x%)500(1x%)227 000(x0)，化简得x2300x6 4000，解得x20或x320(舍去)，所以x20，即x的最小值为
21、20.答案：20从盛满30 L纯酒精的容器里倒出1 L酒精，然后用水填满，再倒出1 L混合溶液后再用水填满，这样继续进行，如果倒第k次(k1)时共倒出纯酒精x L，倒第k1次时共倒出纯酒精f(x)L，则f(x)的函数关系式是_解析：每次倒出纯酒精应为混合溶液体积乘质量百分数第k1次倒时，容器里还剩(30x)L纯酒精，所以酒精的浓度为.而又倒出1 L混合溶液，故倒出的纯酒精为L，所以f(x)x，所以f(x)1.答案：f(x)1x3在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v2 000ln.当燃料质量是火箭质量的_倍时，火箭的最大
22、速度可达12千米/秒解析：当v12 000米/秒时，2 000ln12 000，所以ln6，所以e61.答案：e614(选做题)某企业常年生产一种出口产品，由于技术革新后，该产品的产量平稳增长记2010年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式(所求a或b的值保留1位小数)；(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2017年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2017年的年产量解：(1)符合条件的是f(x)axb，若模型为f(x)2xa，则由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与已知相差太大，不符合若模型为f(x)logxa，则f(x)是减函数，与已知不符合由已知得解得所以f(x)1.5x2.5，xN*.(2)2017年预计年产量为f(8)1.582.514.5，2017年实际年产量为14.5(130%)10.15(万件)
