1、23双曲线23.1双曲线的标准方程1.理解双曲线的定义，了解双曲线的标准方程及其推导过程2.掌握双曲线的标准方程的两种形式3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题1平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距与椭圆一样，双曲线的标准方程也有两种形式：当焦点在x轴上时，方程为1(a0，b0)；当焦点在y轴上时，方程为1(a0，b0)2双曲线标准方程中a、b、c的关系是：c2a2b21判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b
2、，c之间的关系相同()(2)点A(1，0)，B(1，0)，若ACBC2，则点C的轨迹是双曲线()(3)在双曲线标准方程1中，a0，b0且ab.()答案：(1)(2)(3)2已知双曲线1，则双曲线的焦点坐标为()A(，0)，(，0)B(5，0)，(5，0)C(0，5)，(0，5) D(0，)，(0，)答案：B3双曲线的两焦点坐标是F1(3，0)，F2(3，0)，2b4，则双曲线的标准方程是_答案：14设双曲线1的右支上一点P到左焦点F1的距离是15，则P到右焦点F2的距离是_答案：7求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)焦点在y轴上，且过点(3，4)，；(2)经过两点(2，3)
3、，(7，6)【解】(1)设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)因为点(3，4)，在双曲线上，所以这两个点的坐标满足所设方程，由此得，令m，n，则方程组可化为解方程组得所以a216，b29.故所求双曲线方程为1.(2)设所求双曲线的方程为mx2ny21(mn0)由过两点(2，3)，(7，6)，得解得.所以所求双曲线方程为1.求双曲线方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解 (2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx2ny21(mn0)的形式求
4、解1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a2，经过点A(2，5)，焦点在y轴上；(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(a0，b0)由题设知，a2，且点A(2，5)在双曲线上，所以解得a220，b216.故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)或(，4)设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.双曲线定义的应用设双曲线x21的左、右焦点分别为F1、F2.若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则PF
5、1PF2的取值范围是_【解析】由题意不妨设点P在双曲线的右支上，F1PF2(090)，在F1PF2中，由余弦定理得cos ，整理得，PF1PF2，所以PF1PF2，现考虑两种极端情况：当PF2x轴时，cos ，PF1PF2有最大值8；当F1PF2为直角时，PF1PF2有最小值2.因为F1PF2为锐角三角形，所以PF1PF2的取值范围为(2，8)【答案】(2，8)双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，一是注意条件|PF1PF2|2a(02aF1F2)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用 2.设双曲线1，F1、F2是其两个焦点，
6、点M在双曲线上(1)若F1MF290，求F1MF2的面积；(2)若F1MF260时，F1MF2的面积是多少？解：由双曲线方程知a2，b3，c，不妨设MF1r1，MF2r2(r1r2)由双曲线定义得r1r22a4.(1)两边平方得rr2r1r216，即F1F4SF1MF216，即4SF1MF25216，所以SF1MF29.(2)若F1MF260，在F1MF2中，由余弦定理得F1Frr2r1r2cos 60，F1F(r1r2)2r1r2，所以r1r236，则SF1MF2r1r2sin 609.由双曲线方程求参数(1)方程1表示双曲线，那么m的取值范围是_(2)设m是常数，若点F(0，5)是双曲线1
7、的一个焦点，则m_【解析】(1)依题意有或，解得3m2或m3.所以m的取值范围是m|3m2或m3(2)由点F(0，5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.【答案】(1)m|3m2或m3(2)16方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于方程1，当mn0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0时表示焦点在y轴上的双曲线(2)对于方程1，则当mn0时表示双曲线且当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m0，n0时，方程可化为1，则c2kk，即26，故k6.当k0时，方程可化为1，则c2k，故26，解得k6.综上所述，k6或6.答案：(1)1k1(2)61对双曲线定
8、义的两点说明(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支设F1，F2表示双曲线的左、右焦点若MF1MF22a，则点M在右支上；若MF2MF12a，则点M在左支上(2)双曲线定义的双向运用：若|MF1MF2|2a(02aF1F2)，则动点M的轨迹为双曲线若动点M在双曲线上，则|MF1MF2|2a.2对双曲线标准方程的两点说明(1)标准方程中两个参数a和b，是双曲线的定形条件，确定了其值，方程也即确定并且有b2c2a2，与椭圆中b2a2c2相区别(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型，若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上设F
9、1，F2是双曲线1的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离是_【解析】由双曲线的定义得|PF1PF2|8，所以|9PF2|8，所以PF21或17.因为a4，c6，当PF21时，PF20，b0)由题意，得B(2，0)，C(2，3)所以，解得，所以双曲线的标准方程为x21.答案：x216已知双曲线1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为_解析：不妨设点F1(3，0)，容易计算得出MF1，MF2MF12.解得MF2.而F1F26，在直角三角形MF1F2中，由MF1F1F2MF2d，求得F1到直线F2M的距离d为.答案：7已知F
10、是双曲线1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PFPA的最小值为_解析：设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知PF2aPF14PF1，所以PFPA4PF1PA.所以当PFPA最小时需满足PF1PA最小由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足PF1PA最小，易求得最小值为AF15，故所求最小值为9.答案：98焦点在x轴上的双曲线过点P(4，3)，且点Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程解：因为双曲线焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，F1(c，0)，F2(c，0)因为双曲线过点P(4，3)，所以1.又因为点Q(0，5)与两焦点的连
11、线互相垂直，所以0，即c2250.解得c225.又c2a2b2，所以由可解得a216或a250(舍去)所以b29，所以所求的双曲线的标准方程是1.9如图，若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且PF1PF232，试求F1PF2的面积解：(1)由双曲线的定义得|MF1MF2|2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.由于ca532，102，222，故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将PF2PF12a6，两
12、边平方得PFPF2PF1PF236，所以PFPF362PF1PF236232100.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF20，所以F1PF290，所以SF1PF2PF1PF23216.B能力提升1已知椭圆1和双曲线y21的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cosF1PF2的值是_解析：不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以PF1PF22.又P在双曲线上，所以PF1PF22，两式联立，得PF1，PF2.又F1F24，根据余弦定理可以求得cosF1PF2.答案：2已知双曲线的方程是1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，另一个焦点为
13、F2，点N是PF1的中点，则ON的大小(O为坐标原点)为_解析：连结ON(图略)，ON是三角形PF1F2的中位线，所以ONPF2，因为|PF1PF2|8，PF110，所以PF22或18，所以ONPF21或9.答案：1或93.已知双曲线的方程为x21，如图所示，点A的坐标为(，0)，B是圆x2(y)21上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求MAMB的最小值解：设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图，连结MD，BD，由双曲线的定义，得MAMD2a2.所以MAMB2MBMD2BD，又点B是圆x2(y)21上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故BDCD11，从而MAMB2B
14、D1，当点M，B在线段CD上时上式取等号，即MAMB的最小值为1.4(选做题)在抗震救灾行动中，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，急需把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知PA100 km，PB150 km，BC60 km，APB60，试在灾民区确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程解：灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA，PB送药一样远近，由题意可知，界线应该是第三类点的轨迹设M为界线上的任意一点，则有PAMAPBMB，即MAMBPBPA50(定值)界线为以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分如图所示以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，因为a25，2cAB50，所以c25，b2c2a23 750，所以双曲线方程为1，因为C的坐标为(25，60)，所以y的最大值为60，此时x35.因此界线的曲线方程为1(25x35，y0)
