1、 A基础达标1已知二面角l的两个半平面与的法向量分别为a，b，若a，b，则二面角l的大小为()A.B.C.或 D.或解析：选C.由于二面角的范围是0，而二面角的两个半平面与的法向量都有两个方向，因此二面角l的大小为或，故选C.2已知在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E是BC的中点，则直线AC与DE所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C.如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，(a，a，a)，cos，.3如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B.C. D.
2、解析：选D.如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，C1(0，2，1)，所以(2，0，1)连结AC，易证AC平面BB1D1D，所以平面BB1D1D的一个法向量为a(2，2，0)所以所求角的正弦值为|cosa，|.4.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面AC，若EA1，则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()A120 B45C150 D60解析：选B.以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，1)，B(1，0，0)，C(
3、1，1，0)，(1，0，1)，(1，1，1)设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，则有可取n(1，0，1)又平面EAD的一个法向量为(1，0，0)，所以cosn，故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45.5如图所示，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC的中点，则二面角CBFD的正切值为()A. B.C. D.解析：选D.如图所示，设AC与BD交于点O，连结OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PAADAC1，则BD，所以O(0，0，0)，B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，0)，
4、(0，0)，易知为平面BDF的一个法向量，由(，0)，(，0，)，可得平面BCF的一个法向量为n(1，)所以cosn，sinn，所以tann，.故二面角CBFD的正切值为.6已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_解析：由题意得(1，2，0)，(1，0，3)设平面ABC的法向量为n(x，y，z)由，知.令x2，得y1，z，则平面ABC的一个法向量为n(2，1，)平面xOy的一个法向量为(0，0，3)由此易求出所求锐二面角的余弦值为.答案：正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为_解
5、析：设三棱柱的棱长为1，以B为原点建立空间直角坐标系，如图，则C1(0，1，1)，A，则.易知平面BB1C1C的一个法向量n(1，0，0)，设AC1与平面BB1C1C的夹角为，则sin |cosn，|，所以cos .答案：如图所示，有一长方形的纸片ABCD，长AB4 cm，宽AD3 cm，现沿它的一条对角线AC把它折叠成120的二面角，求折叠后BD的长解：作DEAC，BFAC，点E，F为垂足，则AC5 cm，DEBF4 cm，AECF cm，EF cm.折叠后，DE、EF、FB的长度保持不变，且|2()2|2|2|2222|2|2|22|cos 602，所以BD cm，即折叠后BD的长为 cm
6、.如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 a.(1)建立适当的空间直角坐标系，并写出点A，B，A1，C1的坐标；(2)求AC1与侧面ABB1A1所成的角解：(1)如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系由已知得A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，a)，C1.(2)取A1B1的中点M，则M，连结AM，MC1，有，且(0，a，0)，(0，0, a)，所以0，0，所以MC1AB，MC1AA1，因为ABAA1A，所以MC1平面ABB1A1.所以与所成角即为所求的角因为0
7、2a2a2，| a，| a，所以cos，所以，30，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.B能力提升1.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为_解析：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(1，0，0)，M，C(0，1，0)，N，所以，.所以cos，.答案：如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)求二面角A1BDC1的大小解：(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面
8、为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC.而DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.因为BC平面BCD，所以DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，则BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直以C为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2)则(0，0，1)，(1，1，1)，(1，0，1)设n(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则即可取n(1，1，0)同理，设m(x，y，
9、z)是平面C1BD的法向量，则即可取m(1，2，1)从而cosn，m.故二面角A1BDC1的大小为30.(选做题)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长解：如图，以点A为坐标原点，AD，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B，P(0，0，2)(1)证明：易得(0，1，2)，(2，0，0)，则0，所以PCAD.(2)易得(0，1，2)，(2，1，0)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)由得令z1，可得n(1，2，1)又(2，0，0)是平面PAC的一个法向量，所以cos，n，从而sin，n.所以二面角APCD的正弦值为.(3)易得(2，1，0)设AEh，h0，2，则E(0，0，h)，所以.所以cos，解得h，即AE.