1、 A基础达标1已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为()A6B6C3 D3解析：选B.由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，所以(2e13e2)(ke14e2)0，所以2k120，所以k6.2已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 B.a2C.a2 D.a2解析：选C.()()(aaaa)a2.3若ABC中，C90，A(1，2，3k)，B(2，1，0)，C(4，0，2k)，则k的值为()A. BC2 D解析：选D.(6，1，2k)，(3，2，k)，则(6)(3)22k
2、(k)2k2200，所以k.4.如图，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于()A6 B6C12 D144解析：选C.因为，所以2222222363636236cos 60144，所以PC12.5已知向量a(1，2，3)，b(2，4，6)，|c|，若(ab)c7，则a与c的夹角为()A30 B60C120 D150解析：选C.ab(1，2，3)a，故(ab)cac7，得ac7，而|a|，所以cosa，c，a，c120.已知空间向量a、b、c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_解析：因为abc0，所以(abc)20，所以a2b2c22(abbc
3、ca)0，所以abbcca13.答案：13已知a(x，2，0)，b(3，2x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是_解析：cosa，b，因为夹角为钝角，所以cosa，b0，且a，b不共线，所以3x2(2x)0，所以x4.答案：x4设a，b，c是单位向量，且ab0，则(ac)(bc)的最小值为_解析：ab0，且a，b，c均为单位向量，所以|ab|，|c|1，所以(ac)(bc)ab(ab)cc2.设ab与c的夹角为，则(ac)(bc)1|ab|c|cos 1cos .故(ac)(bc)的最小值为1.答案：1如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是AB、
4、AD的中点，计算：(1)；(2).解：(1)|cos，11cos 60.(2)|cos，11cos 120.已知如图所示的空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点求证：OGBC.证明：由线段中点公式得：()()，又，所以()()(|2|2)(|2|2)，因为|cosAOC，|cosAOB，且|，AOBAOC，所以0，即OGBC.B能力提升1已知O为坐标原点，(1，2，3)，(2，1，2)，(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A. B.C. D.解析：选C.设，则(1，2，32)，(2，1，22)，
5、所以(1，2，32)(2，1，22)2(3285)2.所以当时，最小，此时，即点Q的坐标为.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是_解析：法一：由已知，|a|b|1，ab0，由此可知|ab|.将(ac)(bc)0展开得abaccbc20.设ab与c的夹角为，则|c|2(ab)c|ab|c|cos ，即|c|cos .故当cos 1时，|c|取最大值.法二：证明：因为(ac)(bc)0，所以ac与bc互相垂直又因为ab，所以a，b，ac，bc构成的四边形是圆内接四边形，c是此四边形的一条对角线当c是直径时，|c|达到最大值，此时圆内接四边形是
6、以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值为.法三：因为a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可以以a，b为基底建立直角坐标系，a(1，0)，b(0，1)，设c(x，y)，则ac(1x，y)，bc(x，1y)由(ac)(bc)0得(1x)(x)y(1y)0，所以x2y2xy，从而，当且仅当xy1时取等号又|c|，故|c|的最大值为.答案：如图，已知E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与的夹角的余弦值解：设正方体的棱长为m，a，b，c，则|a|b|c|m，abbcac0，又因为ab，ca，所以(ab)m2，又因为|A1C1|m，|，所以cos，.(选做题)已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)(1)求以，为邻边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a与，均垂直，求向量a的坐标解：(1)由题意，可得：(2，1，3)，(1，3，2)，所以cos，.所以sin，.所以，以，为邻边的平行四边形的面积为S|sin，147.(2)设a(x，y，z)由题意，得解得或所以a(1，1，1)或a(1，1，1)