1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时函数奇偶性的应用1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法2理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题利用奇偶性求函数的解析式学生用书P32若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x1，求函数f(x)的解析式【解】当x0时，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1，因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以x0时，f(x)x22x1，故f(x)1变问法在本例条件下，求f(3)的值解：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(3)f(3)(32231)2.2变条件将本例中的“奇函数”改为“偶函
2、数”，其他条件不变，求当x0时，函数f(x)的解析式解：当x0时，x0，f(x)(x)22(x)1x22x1，因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)x22x1，即x0时，f(x)x22x1. 利用奇偶性求函数解析式的思路(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内(2)利用已知区间的解析式代入(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x) 1.(1)已知函数f(x)是偶函数，且当x0时，f(x)x(1x)，求当x0时，f(x)的解析式(2)已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)g(x)，求f(x)，g(x)解：(1)当x
3、0时，x0，所以f(x)x(1x)因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，所以当x0时，f(x)x(1x)(2)由f(x)g(x)，把x换成x，得f(x)g(x)，因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)又因为g(x)为奇函数，所以g(x)g(x)，所以f(x)g(x).由得f(x)，g(x).函数的奇偶性与单调性的综合问题学生用书P33(1)(2019兰州高一检测)设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是()Af()f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)32，所以f()f(3)f
4、(2)，故f()f(3)f(2)(2)因为f(x)，所以任取x(1，1)，则x(1，1)，所以f(x)f(x)故f(x)为奇函数任取x1，x2(1，1)且x1x2，所以f(x2)f(x1).因为x2x10，1x1x20且分母x10，x10，所以f(x2)f(x1)，故f(x)在(1，1)上为增函数因为定义在(1，1)上的奇函数f(x)是增函数，由f(t1)f(2t)0，得f(t1)f(2t)f(2t)所以有解得0t.故不等式f(t1)f(2t)0的解集为.变问法本例(2)中函数的值域是什么？解：由于f(x)在(1，1)上是增函数，且f(1)，f(1)，所以函数值域为.奇偶性与单调性综合问题的两
5、种类型(1)比较大小：自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小(2)解不等式：利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解 2.(1)已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，则f(1)和f(10)的大小关系为()Af(1)f(10)Bf(1)f(10)Cf(1)f(10)Df(1)和f(10)关系不定(2)设奇函数f(x)
6、在(0，)上为减函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1，0)(1，)B(，1)(0，1)C(，1)(1，)D(1，0)(0，1)解析：(1)选A.因为f(x)是偶函数，所以f(10)f(10)又f(x)在0，)上单调递减，且1f(10)，即f(1)f(10)(2)选C.因为f(x)为奇函数，0，即 1时，f(x)0.因为奇函数图象关于原点对称，所以在(，0)上f(x)为减函数且f(1)0，即x0.综上使0的解集为(，1)(1，).1函数的奇偶性和单调性的性质属性函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言的，而函数的单调性是相对于定义域的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部
7、性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”2具有奇偶性的函数的单调性的特点(1)奇函数在a，b和b，a上具有相同的单调性(2)偶函数在a，b和b，a上具有相反的单调性已知函数f(x)是奇函数，且f(2).(1)求实数a，b的值；(2)判断函数f(x)在(，1上的单调性，并用定义证明【解】(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)所以，因此bb，解得b0.又因为f(2)，所以，解得a2.(2)由(1)知f(x)，f(x)在(，1上为增函数，证明：设x1x21，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).因为x1x21，所以x1x21.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，yx1，
8、所以在(0，)上单调递增；另外函数yx3不是偶函数；yx21在(0，)上单调递减；y不是偶函数故选B.2已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围为()A. BC. D解析：选A.由于f(x)为偶函数，且在0，)上单调递增，则不等式f(2x1)f，即2x1，解得x0，则ab_0(填“”“0得f(a)f(b)，因为f(x)为奇函数，则f(x)f(x)所以f(a)f(b)，又f(x)为减函数，所以ab，即ab0.答案：4.设函数yf(x)是偶函数，它在0，1上的图象如图，则它在1，0上的解析式为_解析：由题意知f(x)在1，0上为一条线段，且过(1，1)、(0，2
9、)，设ykxb，代入解得k1，b2.所以yx2.答案：yx25已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x|x2|，求x0时，f(x)的表达式解：因为x0，所以x0，所以f(x)(x)|(x)2|.又因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)(x)|(x)2|x|x2|.故当x0时，f(x)x|x2|.学生用书P99(单独成册)A基础达标1若f(x)ax2bxc(a0)是偶函数，则g(x)ax3bx2cx是()A奇函数B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数解析：选A.因为f(x)ax2bxc是偶函数，所以由f(x)f(x)，得b0.所以g(x)ax3cx.所以g(x)a(x)3c(x)
10、g(x)，所以g(x)为奇函数2如果偶函数f(x)在3，7上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在7，3上是()A增函数，最小值是5 B增函数，最大值为5C减函数，最小值是5 D减函数，最大值为5解析：选C.可先画出yf(x)在3，7上的大致草图，由于yf(x)是偶函数，根据偶函数的图象关于y轴对称，画出yf(x)在7，3上的图象，可知f(x)在7，3上为减函数，其最小值为5.3若偶函数f(x)在(0，)上是增函数，则af()，bf，cf的大小关系是()Abac BbcaCacb Dcab解析：选C.f(x)为偶函数，则af()f()，又因为，f(x)在(0，)上是增函数，所以f()ff，即a
11、cb.4若函数f(x)(m1)x2(m21)x1是偶函数，则在区间(，0上，f(x)()A可能是增函数，也可能是常函数B是增函数C是常函数D是减函数解析：选A.因为f(x)是偶函数，所以m1，当m1时，f(x)1是常函数；当m1时，f(x)2x21在(，0上是增函数5已知f(xy)f(x)f(y)对任意实数x，y都成立，则函数f(x)是()A奇函数B偶函数C既是奇函数，也是偶函数D既不是奇函数，也不是偶函数解析：选A.令xy0，所以f(0)f(0)f(0)，所以f(0)0.又因为f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数，故选A.6已知yf(x)是奇函数，当x0时
12、，f(x)x2ax，且f(3)6，则a的值为_解析：因为f(x)是奇函数，所以f(3)f(3)6，所以(3)2a(3)6，解得a5.答案：57已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(2)0，若f(x1)0，则x的取值范围是_解析：根据偶函数的性质，易知f(x)0的解集为(2，2)，若f(x1)0，则2x12，解得1x3.答案：(1，3)8若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_解析：f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2是偶函数，因为图象关于y轴对称，且它的值域为(，4，所以2aab0，所以b2或a0(舍去)，
13、所以f(x)2x22a2，又因为值域为(，4，所以2a24，所以f(x)2x24.答案：2x249已知函数f(x)1.(1)若g(x)f(x)a为奇函数，求a的值；(2)试判断f(x)在(0，)内的单调性，并用定义证明解：(1)由已知g(x)f(x)a，得g(x)1a，因为g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即1a，解得a1.(2)函数f(x)在(0，)内为增函数证明如下：设0x1x2，则f(x1)f(x2)1.因为0x1x2，所以x1x20，从而0，即f(x1)fBffCffDff解析：选C.因为a22a(a1)2，又因为f(x)在0，)上是减函数，所以fff.2若f(x)和g(x)都是
14、奇函数，且F(x)f(x)g(x)2，在(0，)上有最大值8，则在(，0)上F(x)有()A最小值8 B最大值8C最小值6 D最小值4解析：选D.根据题意有f(x)g(x)在(0，)上有最大值6，又因为f(x)和g(x)都是奇函数，所以f(x)g(x)是奇函数且f(x)g(x)在(，0)上有最小值6，则F(x)在(，0)上有最小值624，故选D.3设f(x)是(，)上的奇函数，且f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，求f(7.5)解：由f(x2)f(x)，得f(7.5)f(5.52)f(5.5)f(3.52)f(3.5)f(1.52)f(1.5)f(0.52)f(0.5)f(0.5)0.
15、5.4(选做题)已知函数f(x)是R上的偶函数(1)求实数m的值；(2)判断函数f(x)在(，0上的单调性；(3)求函数f(x)在3，2上的最大值与最小值解：(1)若函数f(x)是R上的偶函数，则f(x)f(x)，即，解得m0.(2)由(1)知f(x)，设任意的x1，x2(，0，且x1x2，则f(x1)f(x2)，因为x1x20，则x2x10，x2x10，(1x)(1x)0，所以f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(，0上是增函数(3)由(2)知函数f(x)在(，0上是增函数又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在(0，)上为减函数，所以f(x)在3，0上为增函数，在0，2上为减函数，又f(3)，f(0)1，f(2)，所以f(x)maxf(0)1，f(x)minf(3).高考资源网版权所有，侵权必究！