1、高考资源网（） 您身边的高考专家31.3空间向量基本定理1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念3能用三个不共面的向量表示空间向量1空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使pxe1ye2ze3.2基底、基向量如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把e1，e2，e3称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底特别地，当一个正交基底的三
2、个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用i，j，k表示向量共面定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得xyz1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b，c为空间一个基底，则a，b，2c也可构成空间一个基底()(2)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底()答案：(1)(2)2下列各组向量能构成一个基底的是()A长方体ABCDA1B1C1D1中的向量，B三棱锥ABCD中的向量，C三棱柱ABCA1B1C1中(E是A1C1的中点)的向量，D四棱锥SABCD中的向量，答案：B3设p：a，b，c是三个非零向量；q
3、：a，b，c为空间的一个基底，则p是q的_条件解析：当非零向量a，b，c不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底当a，b，c为基底时，一定有a，b，c为非零向量因此p q，qp.答案：必要不充分空间向量的基底已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底【解】假设，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得x y 成立，即e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)(3xy)e1(xy)e2(2xy)e3.因为e1，e2，e3是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面，所以，此方程组无解即不存在实
4、数x，y，使得xy成立，所以，不共面故，能作为空间的一个基底基底的判断思路判断给出的三个向量能否构成基底，关键是要判断这三个向量是否共面首先应考虑三个向量中是否有零向量，其次判断三个非零向量是否共面如果从正面难以入手判断，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面 1.已知向量a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，ab，c能否作为空间的一个基底解：假设ab，ab，c共面，则存在实数x，y，使cx(ab)y(ab)，即c(xy)a(xy)b，从而由共面向量定理知c与a，b共面，这与a，b，c不共面矛盾所以ab，ab，c不共
5、面，即可以作为空间的一个基底用基底表示空间向量如图，在三棱柱ABCABC中，已知a，b，c，点M，N分别是BC，BC的中点，试用基底a，b，c表示向量，.【解】连结AN(图略)()()(abc)()()abc.若把本例中的“a”改为“a”，其他条件不变，则结果是什么？解：因为M为BC的中点，N为BC的中点，所以()ab.()()()bac.用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果(3)下结论：利用空间向
6、量的一个基底a，b，c可以表示出空间所有向量表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 2.四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，.解：连结BO(图略)，则()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.空间向量基本定理的综合运用如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，a，b，c，P是CA1的中点，M是CD1的中点试用a，b，c表示如下向量：(1)；(2).【解】(1)因为，而c，()(cab)abc，所以cabc.(2)因为，而a，b，且M是CD1的中点，则()()(ac
7、)，所以ab(ac)abc.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断 3.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分成定比1，求满足xyz的实数x、y、z的值解：法一：如图所示，取PC的中点E，连结NE、AC，则.因为，又，所以()，所以x，y，z.法二：证明：()()()，所以x，y，z.对空间向量基本定理的理解(1)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念(2)向量基本定理揭示了向
8、量间的线性关系，即任一向量都可由基向量惟一的线性表示(3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能与任意向量作为基底如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1和DD1上的点，且BEBB1，DFDD1.若xyz，求xyz的值【解】因为，而，所以因为xyz，根据空间向量基本定理可知，由同一个基底表示的同一个向量是惟一的，所以x1，y1，z，则xyz将表示成三个与基向量相应的向量的和，为将用基底表示创造了条件，这是必要的一步，否则会造成失分；经过转化将用基底正确表示，这是解答本题的关键；这一步必不可少，为以后的推理论证提供了理论基础；完整的步骤，正确的结
9、果，才能大功告成1O、A、B、C为空间四点，且向量，不能构成空间的一个基底，则下列说法正确的是()A.、共线B.、共线C.、共线DO、A、B、C四点共面答案：D2设i，j，k是空间向量的一个正交基底，a3i2jk，bijk，则向量a与b的关系是_答案：共线3设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，求(x，y，z)的值答案： A基础达标1已知a，b，c是空间一组基底，pab，qab，一定可以与向量p，q构成空间另一组基底的是()AaBbCc D.p2q解析：选C.因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面若存在x，yR，使cxpyq(xy)a(xy)
10、b成立，则a，b，c共面，这与已知a，b，c是空间一组基底矛盾，故p，q，c不共面2设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，b，c，z，x，y，abc，其中可以作为空间一个基底的向量组有()A1个 B2个C3个 D0个解析：选B.因为xab，所以向量x，a，b共面如图，令a，b，c，则x，y，z，abc.可知向量b，c，z和x，y，abc不共面，故选B.3如图，梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间内任意一点，设a，b，c，则向量可用a，b，c表示为()Aab2cBab2cCabcD.abc解析：选D.()abc.4已知空间的一个基底a，b
11、，c，mabc，nxaybc，若m与n共线，则x_，y_解析：因为m与n共线，所以存在实数，使mn，即abcxaybc，于是有解得答案：115在空间中，把ABC平移到ABC，连结对应顶点及BC，设a，b，c，M是BC的中点，则_解析：取BC中点记为N，连结MN，AN，则a()a(bc)a(abc)答案：(abc)6从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取a，b，c，点G在PQ上，且PG2GQ，H为RS的中点，则用基底a，b，c表示向量，得_解析：()aa(bc)a(bc)答案：a(bc)7若a，b，c是空间一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底解：
12、假设ab，bc，ca共面，则存在实数、使得ab(bc)(ca)，所以abba()c.因为a，b，c为基底，所以a，b，c不共面所以，此方程组无解所以ab，bc，ca不共面，所以ab，bc，ca可以作为空间的一个基底8已知PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为PDC的重心，i，j，k，试用基底i，j，k表示、.解：如图所示，连结PG，并延长交CD于E，则E为CD中点，()(ijkjk)ijk.kiijkijk.iijk.B能力提升如图所示，M、N分别是四面体OABC的棱OA、BC的中点，2MQQN，用向量、表示，则_解析：()()().答案：已知e1，e2，e3为空间的一个基底，若ae1
13、e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，且d a b c，则、分别为_解析：由题意，a、b、c为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数组(，)，使d a b c.所以d(e1e2e3)(e1e2e3)(e1e2e3)()e1()e2()e3.又因为de12e23e3，所以答案：、1、如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，a，b，c，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA上，且CQQA41，用基底a，b，c表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4).解：连结AC，AD(图略)(1)()()(abc)(2)()(2)(a2bc)(3)()()()(22)abc.(4)()abc.(选做题)如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.证明：A，E，C1，F四点共面证明：因为()()，所以A，E，C1，F四点共面高考资源网版权所有，侵权必究！