1、高考资源网（） 您身边的高考专家第一部分 专题六 第2讲 空间角与距离(限时60分钟，满分100分)1(本小题满分20分) 如图，正方形ABCD所在的平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形，ABAE，FAFE，AEF45.(1)求证：EF平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM平面BCE.解：ABE是等腰直角三角形，ABAE，AEAB，平面ABEF平面ABCDAB，AE平面ABCD，AEAD，即AD、AB、AE两两垂直，如图建立空间直角坐标系(1) 设AB1，则AE1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0)，F
2、AFE，AEF45，AFE90，从而F(0，)，(0，)，(0，1,1)，(1,0,0)于是00，0，EFBE，EFBC，BE平面BCE，BC平面BCE，BCBEB，EF平面BCE.(2)M(0,0，)，P(1，0)，从而(1，)，于是(1，)(0，)00.PMEF，又EF平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PM平面BCE.2(本小题满分20分)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求：(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值；(2)二面角CAEF的余弦值的大小解：不妨设正方体的棱长为2，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的
3、空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)(1)由(1,0,2)，(1，1,2)，得，|，1043.又|cos，cos，cos，即AE与CF所成角的余弦值为.(2)(0,1,0)，(1,0,2)(0,1,0)0，AEEF，过C作CMAE于M，则二面角CAEF的大小等于，M在AE上，设m，则(m,0,2m)，(2,2,0)(m,0,2m)(m2,2，2m)MCAE，(m2,2，2m)(1,0,2)0，m，(，2，)，|，(0,1,0)(，2，)0202.又|cos，cos，cos，二面角CAEF的余弦值的大小为.3(本小题满分20分)(精选考题陕西高
4、考) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点(1)证明：PC平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小解：法一：(1)证明：如图，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系APAB2，BCAD2，四边形ABCD是矩形A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0,0,2)，又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0)，F(1，1)(2,2，2)，(1，1)，(1,0,1)，2420，2020，PCBF，PCEF，BFE
5、FF，PC平面BEF.(2)由(1)知平面BEF的法向量n1(2,2，2)，平面BAP的法向量n2(0,2，0)，n1n28.设平面BEF与平面BAP的夹角为，则cos|cosn1，n2|，45，平面BEF与平面BAP的夹角为45.法二：(1)证明：连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形，又F是PC的中点，EFPC，又BP2BC，F是PC的中点，BFPC.又BFEFF，PC平面BEF.(2)PA平面ABCD，PABC，又ABCD是矩形，ABBC，BC平面BAP，BCPB，又由(1)知PC平面BEF，直线PC与BC的夹角即为平面BEF与
6、平面BAP的夹角，在PBC中，PBBC，PBC90，PCB45.所以平面BEF与平面BAP的夹角为45.4(本小题满分20分)(精选考题福州模拟)已知几何体EFGABCD如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上(1)求证：BMEF；(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45，若存在，试求点M的位置；若不存在，请说明理由解：四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，GDDA，GDDC，又DADCD，GD平面ABCD.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)点M在
7、边DG上，故可设M(0,0，t)(0t1)(1)证明：(1,1，t)，(1,1,0)，1(1)11(t)00，BMEF.(2)假设存在点M使得直线MB与平面BEF所成的角为45.设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)，(0，1,1)，(1,0,1)，令z1得xy1.n(1,1,1)，cosn，直线BM与平面BEF所成的角为45，sin45|cosn，|，|，解得t43，又因0t1，只取t34.存在点M(0,0,34)M点位于DG上，且DM34时，使得直线BM与平面BEF所成的角为45.5(本小题满分20分) (精选考题安徽安庆)已知，四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG平面A
8、BCD，垂足为G，G在AD上，且AGGD，BGGC，GBGC2，E是BC的中点，四面体PBCG的体积为.(1)求异面直线GE与PC所成的角；(2)求点D到平面PBG的距离；(3)若F点是棱PC上一点，且DFGC，求的值解： (1)由已知VPBGCSBCGPGBGGCPG，PG4，如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系Oxyz，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,4)，故E(1,1,0)，(1,1,0)，(0,2，4)，cos，异面直线GE与PC所成的角为arccos.(2)平面PBG的单位法向量n0(0，1,0)，|，CGD45，(，0)，点D到平面PBG的距离为.(2) 设F
9、(0，y，z)，则(0，y，z)(，0)(，y，z)，(0,2,0)，0，(，y，z)(0,2,0)2(y)0，y.在平面PGC内过F点作FMGC，M为垂足，则GM，MC，3.1如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD90，PA底面ABCD，PAADAB2BC2，M，N分别为PC，PB的中点(1)求证：PBDM；(2)求BD与平面ADMN所成的角解：(1)证明：以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由PAADAB2BC2，得A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，M(1，1)，D(0,2,0)因为(2,0，2)(1，1)0，所以PBDM.(2)
10、因为(2,0，2)(0,2,0)0，所以PBAD，又PBDM，且ADDMD，故PB平面ADMN，即(2,0，2)是平面ADMN的一个法向量设BD与平面ADMN所成的角为，又(2,2,0)，则sin|cos，|，又0，故，即BD与平面ADMN所成的角是.2(精选考题南京模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是棱CC1的中点(1)求证：A1BAM；(2)求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值解：(1)证明：因为C1C平面ABC，BCAC，所以分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则B(0,1,0)，A1(，
11、0，)，A(，0,0)，M(0,0，)所以(，1，)，(，0，)，所以3030.所以.即A1BAM.(2)由(1)知(，1,0)，(0,0，)，设平面AA1B1B的法向量为n(x，y，z)，则，不妨取n(，3,0)设直线AM与平面AA1B1B所成角为.所以sin|cos，n|.所以直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为.3如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；(2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离 证明：(1)如图
12、，连结OP，OP平面ABC，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)由题意，得G(0,4,0)因为(8,0,0)，(0，4,3)，所以平面BOE的法向量n(0,3,4)，由(4,4，3)，得n0.又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE.(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)，则(x04，y0，3)因为FM平面BOE，所以n，因此x04，y0，即点M的坐标是(4，0)在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域
13、可表示为不等式组经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在AOB内存在一点M，使FM平面BOE.由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，.4(精选考题皖南八校联考)如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，经过对角线AB1的平面交棱A1C1于点D.(1)试确定D点的位置，使平面AB1DBC1，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，求二面角A1AB1D的大小解：(1)证明：当点D为棱A1C1的中点时，平面AB1DBC1.连接A1B，与AB1交于点E，则E为A1B的中点，连接DE，则DEBC1，且DE为平面AB1D与平面A1BC1的交线，DEBC1，DE平面AB1D，B
14、C1平面AB1D，BC1平面AB1D.(2)法一：过D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性质知AA1平面A1B1C1，故AA1DF，DF平面AA1B1B，DFAB1，连接EF，在正三角形A1B1C1中，D是A1C1的中点，B1D，又在直角三角形AA1D中，AD，ADB1D，DEAB1，AB1平面DEF，EFAB1，则DEF为二面角A1AB1D的平面角，DFsin30，AB1，DEBC1AB1，sinDEF，DEF.故二面角A1AB1D的大小为.法二：设O为AB的中点，P为A1B1的中点，连接CO，OP以O为坐标原点，分别以CO、OB、OP所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
15、Oxyz，则O(0,0,0)，A(0，1,0)，B1(0,1，)，C(，0,0)，D(，)，(0,2，)，(，0)，设n1(x，y，z)是平面AB1D的一个法向量，则，即，令y1，可得n1(，1，)，取平面A1AB1的一个法向量为n2(，0,0)，设n1与n2的夹角为，则cos，又易知二面角A1AB1D是锐角，所以二面角A1AB1D的大小是.5(精选考题东北三校)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)证明：CDAE；(2)证明：PD平面ABE；(3)求二面角APDC的余弦值解：(1)证明：在四棱锥PABCD中，因为PA底
16、面ABCD，CD平面ABCD，故PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.AE平面PAC，AECD.(2)证明：由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB，又ADAB，PAADA，AB平面PAD，ABPD.又ABAEA，综上得PD平面ABE.(3) 法一：由题设知PA底面ABCD，PA平面PAD，则平面PAD平面ACD，又这两个平面的交线为AD，过点C作CFAD，垂足为F，故CF平面PAD.过点F作FMPD，垂足为M，连接CM，故CMPD.因此CMF是二
17、面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，CFa，FDa.FMDPAD，.于是，FMa.在RtCMF中，tanCMF，可得cosCMF，即二面角APDC的余弦值为.法二：如图所示，以A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设APa.依题意得，A(0,0,0)，P(0,0，a)，C(，a,0)，D(0，a,0)，由题意可得平面APD的一个法向量为n1(1,0,0)，设平面PCD的法向量为n2(x，y，z)，(，a，a)，(0，a，a)，则，所以，令z1，得n2(，1)为平面PCD的一个法向量因为cosn1，n2，所以二面角APDC的余弦值是.高考资源网版权所有，侵权必究！