1、2020年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1（2分）2的相反数是（）A2BCD2【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案【解答】解：2的相反数是2故选：A【点评】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键2（2分）计算m6m2的结果是（）Am3Bm4Cm8Dm12【分析】利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案【解答】解：m6m2m62m4故选：B【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键3（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A圆柱B
2、三棱柱C四棱柱D四棱锥【分析】该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为正方形，易得出该几何体的形状【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个正方形，则可得出该几何体是四棱柱故选：C【点评】主要考查的是三视图的相关知识，解得此题时要有丰富的空间想象力4（2分）8的立方根为（）ABC2D2【分析】根据立方根的定义求出的值，即可得出答案【解答】解：8的立方根是2，故选：C【点评】本题考查了对立方根的定义的理解和运用，注意：a的立方根是5（2分）如果xy，那么下列不等式正确的是（）A2x2yB2x2yCx1y1Dx+1y+1【分析】根据不等式的性质逐个判断即可【解答】解：A、xy
3、，2x2y，故本选项符合题意；B、xy，2x2y，故本选项不符合题意；C、xy，x1y1，故本选项不符合题意；D、xy，x+1y+1，故本选项不符合题意；故选：A【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键6（2分）如图，直线a、b被直线c所截，ab，1140，则2的度数是（）A30B40C50D60【分析】先根据邻补角互补求得3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答【解答】解：1+3180，140，3180118014040ab，2340故选：B【点评】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键7（2分）如图，AB是O的弦，点C是优弧
4、AB上的动点（C不与A、B重合），CHAB，垂足为H，点M是BC的中点若O的半径是3，则MH长的最大值是（）A3B4C5D6【分析】根据直角三角形斜边中线的性质以及直径是圆中最大的弦，即可求得MH的最大值是3【解答】解：CHAB，垂足为H，CHB90，点M是BC的中点MHBC，BC的最大值是直径的长，O的半径是3，MH的最大值为3，故选：A【点评】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确BC的最大值为O的直径的长是解题的关键8（2分）如图，点D是OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD，ADB135，SABD2若反比例函数y（x0）的图象经过A、D两点，则k的值是（）A2B4C3D
5、6【分析】根据三角形面积公式求得AE2，易证得AOMCBD（AAS），得出OMBD，根据题意得出ADE是等腰直角三角形，得出DEAE2，设A（m，），则D（m2，3），根据反比例函数系数k的几何意义得出关于m的方程，解方程求得m3，进一步求得k6【解答】解：作AMy轴于M，延长BD，交AM于E，设BC与y轴的交点为N，四边形OABC是平行四边形，OABC，OABC，AOMCNM，BDy轴，CBDCNM，AOMCBD，CD与x轴平行，BD与y轴平行，CDB90，BEAM，CDBAMO，AOMCBD（AAS），OMBD，SABD2，BD，AE2，ADB135，ADE45，ADE是等腰直角三角形，D
6、EAE2，D的纵坐标为3，设A（m，），则D（m2，3），反比例函数y（x0）的图象经过A、D两点，km（m2）3，解得m3，km6故选：D【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积等，表示出A、D的坐标是解题的关键二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把笞案直接填写在答题卡相应位置上）9（2分）计算：|2|+（1）03【分析】首先计算乘方和绝对值，然后计算加法，求出算式的值是多少即可【解答】解：|2|+（1）02+13，故答案为：3【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟
7、练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用10（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x1【分析】分式有意义时，分母x10，据此求得x的取值范围【解答】解：依题意得：x10，解得x1，故答案为：x1【点评】本题考查了分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零（2）分式无意义的条件是分母等于零11（2分）地球的半径大约为6400km数据6400用科学记数法表示为6.4103【分析】科学记数法的表示形式为a
8、10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：将6400用科学记数法表示为6.4103故答案为：6.4103【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值12（2分）分解因式：x3xx（x+1）（x1）【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x21），而x21可利用平方差公式分解【解答】解：x3x，x（x21），x（x+1）（x1）故答案为：x（x+1）（x1
9、）【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式后再利用平方差公式继续进行因式分解，分解因式一定要彻底13（2分）若一次函数ykx+2的函数值y随自变量x增大而增大，则实数k的取值范围是k0【分析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而增大，则一次项的系数大于0，据此求出k的取值范围【解答】解：一次函数ykx+2，函数值y随x的值增大而增大，k0故答案为：k0【点评】本题考查的是一次函数的性质，解答本题要注意：在一次函数ykx+b（k0）中，当k0时y随x的增大而增大14（2分）若关于x的方程x2+ax20有一个根是1，则a1【分析】把x1代入方程得出1+a20，求出方程的解即可【
10、解答】解：关于x的方程x2+ax20有一个根是1，把x1代入方程得：1+a20，解得：a1，故答案为：1【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键15（2分）如图，在ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F若AFC是等边三角形，则B30【分析】根据垂直平分线的性质得到BBCF，再利用等边三角形的性质得到AFC60，从而可得B的度数【解答】解：EF垂直平分BC，BFCF，BBCF，ACF为等边三角形，AFC60，BBCF30故答案为：30【点评】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线
11、的性质得到BBCF16（2分）数学家笛卡尔在几何一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短在菱形ABCD中，AB2，DAB120如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是（2，）【分析】根据直角三角形的性质可得OA和OD的长，根据菱形的性质和坐标与图形的性质可得答案【解答】解：四边形ABCD是菱形，且AB2，CDADAB2，DAB120，OAD60，RtAOD中，ADO30，OAAD1，OD，C（2，），故答案为：（2，）【点评】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关
12、键是确定OD的长17（2分）如图，点C在线段AB上，且AC2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tanCEG【分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案【解答】解：连接CG，在正方形ACDE、BCFG中，ECAGCB45，ECG90，设AC2，BC1，CE2，CG，tanGEC，故答案为：【点评】本题考查正方形，解题的关键是熟练运用正方形的性质以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型18（2分）如图，在ABC中，B45，AB6，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，在直线DE和直线BC上分别取点F、G，连接BF、DG若BF3D
13、G，且直线BF与直线DG互相垂直，则BG的长为4或2【分析】如图，过点B作BTBF交ED的延长线于T，过点B作BHDT于H，证明四边形DGBT是平行四边形，求出DH，TH即可解决问题【解答】解：如图，过点B作BTBF交ED的延长线于T，过点B作BHDT于HDGBF，BTBF，DGBT，ADDB，AEEC，DEBC，四边形DGBT是平行四边形，BGDT，DGBT，BDHABC45，ADDB3，BHDH3，TBFBHF90，TBH+FBH90，FBH+F90，TBHF，tanFtanTBH，TH1，DTTH+DH1+34，BG4当点F在ED的延长线上时，同法可得DTBG312故答案为4或2【点评】
14、本题考查相似三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题三、解答题（本大题共10小题，共84分请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19（6分）先化简，再求值：（x+1）2x（x+1），其中x2【分析】先根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可【解答】解：（x+1）2x（x+1）x2+2x+1x2xx+1，当x2时，原式2+13【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键20（8分）解方程和不等式组：（1）+2；（2）【分
15、析】（1）方程两边都乘以x1得出方程x22（x1），求出方程的解，再进行检验即可；（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可【解答】解：（1）方程两边都乘以x1得：x22（x1），解得：x0，检验：把x0代入x1得：x10，所以x0是原方程的解，即原方程的解是：x0；（2），解不等式得：x3，解不等式得：x2，不等式组的解集是：2x3【点评】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解（1）的关键，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（2）的关键21（8分）为了解某校学生对球类运动的喜爱情况，调查小组就打排球、打乒乓球、打篮球、踢足球四项球类运动对该
16、校学生进行了“你最喜爱的球类运动”的抽样调查，并根据调查结果绘制成如图统计图（1）本次抽样调查的样本容量是100；（2）补全条形统计图；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数【分析】（1）根据打排球的人数和所占的百分比即可求出样本容量；（2）用总人数乘以打乒乓球的人数所占的百分比求出打乒乓球的人数，再用总人数减去其他项目的人数求出踢足球的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以“打篮球”的人数所占的百分比即可【解答】解：（1）本次抽样调查的总人数是：2525%100（人），则样本容量是100；故答案为：100；（2）打乒乓球的人数有：10035%35（人），
17、踢足球的人数有：10025351525（人），补全统计图如下：（3）根据题意得：2000300（人），答：估计该校最喜爱“打篮球”的学生人数有300人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小22（8分）在3张相同的小纸条上分别标上1、2、3这3个号码，做成3支签，放在一个不透明的盒子中（1）搅匀后从中随机抽出1支签，抽到1号签的概率是；（2）搅匀后先从中随机抽出1支签（不放回），再从余下的2支签中随机抽出1支签，求抽到的2支签上签号的和为奇数的概
18、率【分析】（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，可求出概率；（2）用列表法表示所有可能出现的结果，找出“和为奇数”的情况，进而求出相应的概率【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中“抽到1号”的有1种，因此“抽到1号”的概率为，故答案为：；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有6种可能出现的结果，其中“和为奇数”的有4种，P（和为奇数）【点评】本题考查列表法和树状图求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况，是正确解答的关键23（8分）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EAFB，EAFB，ABCD（1）求证：EF；（2）若A40，D80，求E
19、的度数【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，AFBD，根据ABCD即可得出ACBD，进而得出EACFBD解答即可；（2）根据全等三角形的性质和三角形内角和解答即可【解答】证明：（1）EAFB，AFBD，ABCD，AB+BCCD+BC，即ACBD，在EAC与FBD中，EACFBD（SAS），EF；（2）EACFBD，ECAD80，A40，E180408060，答：E的度数为60【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，解题时注意：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等根据已知得出EACFBD是解题关键24（8分）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹
20、果和1千克梨共需22元（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【分析】（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，根据“购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m千克苹果，则购买（15m）千克梨，根据总价单价数量结合总价不超过100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论【解答】解：（1）设每千克苹果的售价为x元，每千克梨的售价为y元，依题意，得：，解得：答：每千克苹果的售价为8元，每千
21、克梨的售价为6元（2）设购买m千克苹果，则购买（15m）千克梨，依题意，得：8m+6（15m）100，解得：m5答：最多购买5千克苹果【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式25（8分）如图，正比例函数ykx的图象与反比例函数y（x0）的图象交于点A（a，4）点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D（1）求a的值及正比例函数ykx的表达式；（2）若BD10，求ACD的面积【分析】（1）把把点A（a，4）代入反比例函
22、数关系式可求出a的值，确定点A的坐标，进而求出正比例函数的关系式；（2）根据BD10，求出点B的横坐标，求出OB，代入求出BC，根据三角形的面积公式进行计算即可【解答】解：（1）把点A（a，4）代入反比例函数y（x0）得，a2，点A（2，4），代入ykx得，k2，正比例函数的关系式为y2x，答：a2，正比例函数的关系式为y2x；（2）当BD10y时，代入y2x得，x5，OB5，当x5代入y得，y，即BC，CDBDBC10，SACD（52）12.6，【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入是常用方法26（10分）如图1，点B在线段CE上，RtABCRtCEF，ABC
23、CEF90，BAC30，BC1（1）点F到直线CA的距离是1；（2）固定ABC，将CEF绕点C按顺时针方向旋转30，使得CF与CA重合，并停止旋转请你在图1中用直尺和圆规画出线段EF经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）该图形的面积为；如图2，在旋转过程中，线段CF与AB交于点O，当OEOB时，求OF的长【分析】（1）如图1中，作FDAC于D证明ABCCDF（AAS）可得结论（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处根据S阴SEFC+S扇形ACFS扇形CEHSAHCS扇形ACF计算即可（3）如图2中，过点E作EHCF于H设OBOE
24、x在RtEOH中，利用勾股定理构建方程求解即可【解答】解：（1）如图1中，作FDAC于D，RtABCRtCEF，ABCCEF90，BAC30，BC1ACB60，FCEBAC30，ACCF，ACF30，BACFCD，在ABC和CDF中，ABCCDF（AAS），FDBC1，故答案为1；（2）线段EF经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在CF上的点H处S阴SEFC+S扇形ACFS扇形CEHSAHCS扇形ACFS扇形ECH故答案为（3）如图2中，过点E作EHCF于H设OBOEx在RtECF中，EF1，ECF30，EHCF，ECEF，EH，CHEH，在RtBOC中，OC，OHCHOC，在RtE
25、OH中，则有x2（）2+（）2，解得x或（不合题意舍弃），OC，CF2EF2，OFCFOC2【点评】本题考查作图旋转变换，解直角三角形，全等三角形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型27（10分）如图1，I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交I于P、Q两点（Q在P、H之间）我们把点P称为I关于直线a的“远点“，把PQPH的值称为I关于直线a的“特征数”（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）半径为1的O与两坐标轴交于点A、B、C、D过点E画垂直于y轴的直线m，则O关于直线m的“远点”是点D（填“A”“B”、“
26、C”或“D”），O关于直线m的“特征数”为6；若直线n的函数表达式为yx+4求O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作F若F与直线1相离，点N（1，0）是F关于直线1的“远点”且F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式【分析】（1）根据远点，特征数的定义判断即可如图11中，过点O作OH直线n于H，交O于Q，P解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题（2）如图21中，设直线l的解析式为ykx+b分两种情形k0或k0，分别求解即可解决问题【解答】解：（1）由题意，点D是O关于直线m的“远点”，O关于直
27、线m的特征数DBDE2520，故答案为D，20如图11中，过点O作OH直线n于H，交O于Q，P设直线yx+4交x轴于F（，0），交y轴于E（0，4），OE4，OFtanFEO，FEO30，OHOE2，PHOH+OP3，O关于直线n的“特征数”PQPH236（2）如图21中，设直线l的解析式为ykx+b当k0时，过点F作FH直线l于H，交F于E，N由题意，EN2，ENNH4，NH，N（1，0），M（1，4），MN2，HM，MNH是等腰直角三角形，MN的中点K（0，2），KNHKKM，H（2，3），把H（2，3），M（1，4）代入ykx+b，则有，解得，直线l的解析式为yx+，当k0时，同法可知直
28、线i经过H（2，1），可得直线l的解析式为y3x+7综上所述，满足条件的直线l的解析式为yx+或y3x+7【点评】本题属于圆综合题，考查了一次函数的性质，解直角三角形，远点，特征数的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题28（10分）如图，二次函数yx2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD（1）填空：b4；（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q若CQDACB，求点P的坐标；（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，
29、点F关于直线BC对称的点为G，连接AG当点F在x轴上时，直接写出AG的长【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CEAB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CEBE3，AE1，可得EBCECB45，tanACE，BCF45，由勾股定理逆定理可得BCD90，可求ACEDBC，可得ACBCFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；当点Q在点D下方上，过点C作CHDB于H，在线段BH的延长线上截取HFQH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；（3）设
30、直线AC与BD的交点为N，作CHBD于H，过点N作MNx轴，过点E作EMMN，连接CG，GF，先求出CNH45，由轴对称的性质可得ENNF，ENBFNB45，由“AAS”可证EMNNKF，可得EMNK，MNKF，可求CF6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解【解答】解：（1）抛物线yx2+bx+3的图象过点C（1，0），01+b+3，b4，故答案为：4；（2）b4，抛物线解析式为yx24x+3抛物线yx24x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，点A（0，3），3x24x，x10（舍去），x24，点B（4，3），yx24x+3（x2）21，顶点D坐标（2，1），如
31、图1，当点Q在点D上方时，过点C作CEAB于E，设BD与x轴交于点F，点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CEAB，点E（1，3），CEBE3，AE1，EBCECB45，tanACE，BCF45，点B（4，3），点C（1，0），点D（2，1），BC3，CD，BD2，BC2+CD220BD2，BCD90，tanDBCtanACE，ACEDBC，ACE+ECBDBC+BCF，ACBCFD，又CQDACB，点F与点Q重合，点P是直线CF与抛物线的交点，0x24x+3，x11，x23，点P（3，0）；当点Q在点D下方上，过点C作CHDB于H，在线段BH的延长线上截取HFQH，连接CQ交抛物
32、线于点P，CHDB，HFQH，CFCQ，CFDCQD，CQDACB，CHBD，点B（4，3），点D（2，1），直线BD解析式为：y2x5，点F（，0），直线CH解析式为：yx+，解得，点H坐标为（，），FHQH，点Q（，），直线CQ解析式为：yx+，联立方程组，解得：或，点P（，）；综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，）；（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CHBD于H，过点N作MNx轴，过点E作EMMN，连接CG，GF，点A（0，3），点C（1，0），直线AC解析式为：y3x+3，点N坐标为（，），点H坐标为（，），CH2（1）2+（）2，HN2（）2+（+）2，CHHN，CNH45，点E关于直线BD对称的点为F，ENNF，ENBFNB45，ENF90，ENM+FNM90，又ENM+MEN90，MENFNM，EMNNKF（AAS）EMNK，MNKF，点E的横坐标为，点E（，），MNKF，CF+16，点F关于直线BC对称的点为G，FCCG6，BCFGCB45，GCF90，点G（1，6），AG【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合性强，求出CNH45是本题的关键
