1、高三教学质量监测试题数学(理科)考生注意:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合U=0,1,2,3,4,集合A=1,2,B=2,3,则A(UB)=A.1B.0,2,4C.1,2,3D.0,1,2,42.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则z=A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i3.已知函数f(x)=(x+1)ex,则f(x)图象在点(1,
2、f(1)处的切线斜率为A.1B.2C.3+eD.3e4.若等差数列an满足a2=20,a5=8,则a1=A.24B.23C.17D.165.已知单位向量e1与e2的夹角为23,则向量e1在向量e2方向上的投影为A.-32B.12C.-12D.326.设xR,则“x12”是“2x2+x-10”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果S为A.-1B.0C.22D.-1-228.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱AD,CC1的中点,则异面直线A1E与BF所成角的大小为A.6B.4C.3D.29.函
3、数f(x)=cosxx(-2x2且x0)的图象可能是10.小王、小张、小赵三个人是好朋友,其中一个人下海经商,一个人考上了重点大学,一个人参军了.此外还知道以下条件:小赵的年龄比士兵的大;大学生的年龄比小张的小;小王的年龄和大学生的年龄不一样.请按小王、小张、小赵的顺序指出三人的身份分别是A.士兵、商人、大学生B.士兵、大学生、商人C.商人、士兵、大学生D.商人、大学生、士兵11.点P为椭圆x216+y215=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=1的任意一条直径,则PEPF的取值范围是A.(8,24)B.8,24C.5,21D.(5,21)12.已知函数f(x)=x2+2x+a,x0
4、)的图象向左平移9个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则实数的最小值是.16.在三棱锥P-ABC中,AB=AC=4,BAC=120,PB=PC=43,平面PBC平面ABC,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)已知等差数列an是递增数列,且a1a5=9,a2+a4=10.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=1anan+1(nN*),求数列bn的前n项和Sn.18.(本小题满分12分)已知
5、在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,PD平面ABCD,且ABCD,CD=2AB=2AD,ADCD.(1)证明:平面PBC平面PBD.(2)若PB与平面ABCD所成的角为45,求二面角B-PC-D的余弦值.19.(本小题满分12分)某超市准备举办一次有奖促销活动,若顾客一次性消费达到400元,则可参加一次抽奖活动,超市设计了两种抽奖方案.方案一:一个不透明的盒子中装有15个质地均匀且大小相同的小球,其中5个红球,10个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得80元的返金券,若抽到白球则获得20元的返金券,且顾客有放回地抽取3次.方案二:一个不透明的盒子中装有15
6、个质地均匀且大小相同的小球,其中5个红球,10个白球,搅拌均匀后,顾客从中随机抽取一个球,若抽到红球则顾客获得100元的返金券,若抽到白球则未中奖,且顾客有放回地抽取3次.(1)现有两位顾客均获得抽奖机会,且都按方案一抽奖,试求这两位顾客均获得240元返金券的概率.(2)若某顾客获得抽奖机会.试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券金额的数学期望;该顾客选择哪一种抽奖方案才能获得更多的返金券?20.(本小题满分12分)已知圆(x-4)2+(y-4)2=r2(r0)经过抛物线E:y2=2px(p0)的焦点F,且与抛物线E的准线l相切.(1)求抛物线E的标准方程及r的值;(2)设经过点F的直线m
7、交抛物线E于A,B两点,点B关于x轴的对称点为点C,若ACF的面积为6,求直线m的方程.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=xex-1-a(x+ln x),aR.(1)若f(x)存在极小值,求实数a的取值范围;(2)设x0是f(x)的极小值点,且f(x0)0,证明:f(x0)2(x02-x03).(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2-2t,y=-1+2t(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=
8、2cos(+4).(1)判断曲线C1与曲线C2的位置关系;(2)设点M(x,y)为曲线C2上任意一点,求2x+y的最大值.23.选修4-5:不等式选讲(10分)已知函数f(x)=|2x-a|.(1)当a=2时,求不等式f(x)+|x|6的解集;(2)设f(x)+|x-1|+3x0对x-2,-1恒成立,求a的取值范围.高三教学质量监测试题数学参考答案(理科)1.D2.B3.D4.A5.C6.A7.C8.D9.B10.A11.B12.C13.214.2515.316.801.解:UB=0,1,4,A(UB)=0,1,2,4.故选D.2.解:z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i.故选B.3.解
9、:由已知得f(x)=(x+2)ex,所以f(1)=3e.故选D.4.解:根据题意,d=a5-a25-2=-4,则a1=a2-d=20-(-4)=24,故选A.5.解:向量e1在向量e2方向上的投影为|e1|cos23=-12.故选C.6.解:不等式2x2+x-10的解集为x12或x12”是“2x2+x-10”的充分不必要条件.故选A.7.解:由已知的程序语句可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S.当n=10时,满足退出循环的条件,S=0+cos4+cos24+cos34+cos44+cos54+cos64+cos74+cos84+cos94+cos104=0+22+0+(-22)+(
10、-1)+(-22)+0+22+1+22+0=22.故选C.8.解:作FGDC交DD1于G,连接AG,如图所示,则AGBF,异面直线A1E与BF所成的角,即AG与A1E所成的角,显然RtA1AERtADG,故GAD=AA1E,故GAD+A1EA=90,即AGA1E.故选D.9.解:因为f(-x)=cos(-x)-x=-cosxx=-f(x),所以f(x)为奇函数,故排除选项A,C.又f(x)=-sinxx-cosxx2,当x(0,2)时,f(x)0恒成立,故函数f(x)在(0,2)上单调递减,排除选项D.故选B.10.解:由“小赵的年龄比士兵的大,大学生的年龄比小张的小”,可知年龄处在中间位置的
11、是“大学生”小赵.而小张的年龄最大,士兵的年龄最小,则小张是“商人”,小王是“士兵”.故选A.11.解:P为椭圆x216+y215=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=1的任意一条直径,PEPF=(PN+NE)(PN+NF)=(PN+NE)(PN-NE)=PN2-NE2=PN2-1.a-c|PN|a+c,即3|PN|5,PEPF的取值范围是8,24,故选B.12.解:当x=0时,f(0)=-1-e20,故0不是函数f(x)的零点;当x(0,+)时,f(x)=0等价于2a=ex+e2x.令g(x)=ex+e2x,则g(x)=xex-ex-e2x2.当x2时,g(x)2时,g(x)0.所
12、以g(x)e2,即2ae2,ae22.当0a1时,f(x)在(-,0)上有两个零点,则f(x)在(0,+)上无零点,则ae22,所以0a1时,f(x)在(-,0)上无零点,故f(x)在(0,+)上需要有两个零点,则ae22.综上,实数a的取值范围是(0,1)(e22,+).故选C.13.解:由21+(-1)b=0,解得b=2.故答案为2.14.解:由4+m=3,解得m=5.所以双曲线的虚轴长为25.故答案为25.15.解:g(x)=|sin(x+9)+6|=|sinx+(9+6)|为偶函数,9+6=k2(kZ),即=9k2-32(kZ),又0,当k=1时,取得最小值3.故答案为3.16.解:如
13、图,设ABC外接圆的圆心为O1,连接O1C,O1A,BCO1A=H,连接PH.由题意可得AHBC,且AH=12O1A=2,BH=12BC=23.因为平面PBC平面ABC,且PB=PC,所以PH平面ABC,且PH=(43)2-(23)2=6.设O为三棱锥P-ABC外接球的球心,连接OO1,OP,OC,过O作ODPH,垂足为D,则外接球的半径R满足R2=OO12+42=(6-OO1)2+O1H2,即OO12+16=(6-OO1)2+4,解得OO1=2,从而R2=20,故三棱锥P-ABC外接球的表面积为4R2=80.故答案为80.17.解:(1)设an的公差为d,因为a1a5=9,a2+a4=10,
14、所以a1(a1+4d)=9,a1+d+a1+3d=10,2分解得a1=1或9,a5=9或1,3分由于数列为递增数列,则a1=1,a5=9.4分故d=2,从而an=1+2(n-1)=2n-1.6分(2)由于an=2n-1,则bn=1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1).9分所以Sn=b1+b2+bn=12(1-13+13-15+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)=n2n+1.12分18.(1)证明:取CD的中点E,连接AE,BE.CD=2AB,AB=DE.又AB=AD,ADDC,四边形ABED为正方形,则AEBD,1分PD平面ABCD,AE平面A
15、BCD,PDAE.2分PDBD=D,AE平面PBD.3分AB=EC,ABEC,四边形ABCE为平行四边形,BCAE,4分BC平面PBD.又BC平面PBC,平面PBC平面PBD.5分(2)解:PD平面ABCD,PBD为PB与平面ABCD所成的角,即PBD=45,则PD=BD.6分设AD=1,则AB=1,CD=2,PD=BD=2.以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,2),B(1,1,0),C(0,2,0).7分DA平面PDC,平面PDC的一个法向量为DA=(1,0,0).8分设平面
16、PBC的法向量m=(x,y,z),PB=(1,1,-2),BC=(-1,1,0),PBm=x+y-2z=0,BCm=-x+y=0,取x=1,m=(1,1,2).10分设二面角B-PC-D的平面角为,则cos=mDAmDA=12+1+1=12,11分由图可知二面角B-PC-D为锐角,故二面角B-PC-D的余弦值为12.12分19.解:(1)选择方案一,则每一次摸到红球的概率P=515=13.1分设“每位顾客获得240元返金券”为事件A,则P(A)=C33(13)3=127,2分所以两位顾客均获得240元返金券的概率P=P(A)P(A)=1729.3分(2)若选择抽奖方案一,则每一次摸到红球的概率
17、为13,每一次摸到白球的概率为23.设获得返金券的金额为X元,则X可能的取值为60,120,180,240,4分则P(X=60)=C30(23)3=827,5分P(X=120)=C31(13)1(23)2=49,6分P(X=180)=C32(13)223=29,7分P(X=240)=C33(13)3=127,8分所以若选择抽奖方案一,该顾客获得返金券金额的数学期望为E(X)=60827+12049+18029+240127=120(元).9分若选择抽奖方案二,设在三次摸球的过程中,摸到红球的次数为Y,最终获得返金券的金额为Z元,则YB(3,13),故E(Y)=313=1,10分所以若选择抽奖方
18、案二,该顾客获得返金券金额的数学期望为E(Z)=E(100Y)=100(元).11分因为E(X)E(Z),所以应选择第一种抽奖方案. 12分20.解:(1)由已知可得,圆心(4,4)到焦点F的距离与到准线l的距离相等,即点(4,4)在抛物线E上,则16=8p,解得p=2.故抛物线E的标准方程为y2=4x.3分由r=4+p2,得r=4+22=5.4分(2)由已知可得,直线m的斜率存在,否则点C与点A重合.5分设直线m的斜率为k(k0),则直线AB的方程为y=k(x-1).设A(x1,y1),B(x2,y2),联立y2=4x,y=k(x-1),消去y得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,6分则x
19、1+x2=2+4k2,x1x2=1.7分由对称性可知,C(x2,-y2),所以|AF|=x1+1,|CF|=x2+1.8分设直线m的倾斜角为,则tan =k,所以sinAFC=|sin(-2)|=|sin 2|=|2sin cos |=|2sincos|sin2+cos2=2|tan|tan2+1=2|k|k2+1,所以SAFC=12(x1+1)(x2+1)|sin 2|=x1x2+(x1+x2)+1|k|k2+1=4|k|,10分由已知可得4|k|=6,解得k=23.11分故直线m的方程为y=23(x-1),即2x3y-2=0.12分21.(1)解:f(x)=x+1x(xex-1-a)(x0
20、),1分令g(x)=xex-1-a,则g(x)=(x+1)ex-10,所以g(x)在(0,+)上是增函数.又因为当x0时,g(x)-a;当x+时,g(x)+.2分所以,当a0时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)在区间(0,+)上是增函数,不存在极值点.3分当a0时,g(x)的值域为(-a,+),必存在x00,使得g(x0)=0,所以当x(0,x0)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)单调递增.4分所以f(x)存在极小值点.综上可知,实数a的取值范围是(0,+).5分(2)证明:由(1)知x0ex0-1-a=0,即a=x0ex0-1.所以ln a=ln x0+x0-1,6分f(x
21、0)=x0ex0-1(1-x0-ln x0).由f(x0)0,得1-x0-ln x00.令(x)=1-x-ln x,显然(x)在区间(0,+)上单调递减.又(1)=0,所以由f(x0)0,得00),则H(x)=1-1x=x-1x,当x1时,H(x)0,函数H(x)单调递增;当0x1时,H(x)0,10分1-x0-ln x01-x0-(x0-1)=2(1-x0)0,11分所以f(x0)=x0ex0-1(1-x0-ln x0)x022(1-x0)=2(x02-x03),即f(x0)2(x02-x03).12分22.解:(1)消去t得C1的普通方程为x+y-1=0.1分由=2cos(+4),得=2c
22、os -2sin ,2=2cos -2sin ,即x2-2x+y2+2y=0,化为标准方程为(x-22)2+(y+22)2=1,2分即曲线C2是以(22,-22)为圆心,半径为1的圆,圆心到直线x+y-1=0的距离d=|22-22-1|2=221,故曲线C1与曲线C2相交.5分(2)由M(x,y)为曲线C2上任意一点,可设x=22+cos,y=-22+sin,6分则2x+y=22+2cos +sin =22+5sin(+),其中tan =2,8分故2x+y的最大值是22+5.10分23.解:(1)当a=2时,f(x)+x6,即2x-2+x6,1分当x0时,原不等式化为2-2x-x6,解得x-43,即-43x0;2分当0x1时,原不等式化为2-2x+x6,解得x-4,即01时,原不等式化为2x-2+x6,解得x83,即1x83.4分综上,原不等式的解集为x|-43x83.5分(2)因为x-2,-1,所以f(x)+x-1+3x0可化为2x-a-2x-1,6分所以2x+12x-a-2x-1,7分即4x+1a-1对x-2,-1恒成立,9分则-3a-1,所以a的取值范围是-3,-1.10分