1、专题全程性评价(三)三角函数、平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知ab(2，8)，ab(8,16)，则cosa，b等于()A.BC D以上都不对解析：由题意可求得a(3,4)，b(5，12)|a|5，|b|13.cosa，b.答案：B2函数ycos2x在下列哪个区域上是减函数()A， B，C0， D，解析：令2k2x2k，kZ，xk，kkZ，当k0时，x0，答案：C3若函数f(x)sin2x2sin2xsin2x(xR)，则f(x)是()A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C
2、最小正周期为2的偶函数D最小正周期为的奇函数解析：f(x)sin2x2sin2xsin2xsin2x(12sin2x)sin2xcos2xsin4x，f(x)是最小正周期为的奇函数答案：D4若ysin(x)的图象按照向量a平移后得到ysin(x)的图象，则a可以是()A(，0) B(，0)C(，0) D(，0)解析：ysin(x)sin(x)，所以a(，0)答案：B5已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足 ，则| | |()A13 B31C12 D21解析： 2()，得2，得|21.答案：D6设M平面内的点(a，b)，Nf(x)|f(x)acos2xbsin2x，给出M到N的映射f：(a，b
3、)f(x)acos2xbsin2x，则点(1，)的象f(x)的最小正周期为()A B2C. D.解析：f(x)cos2xsin2x2cos(2x)，最小正周期T.答案：A7在梯形ABCD中，ABCD，且|AB|DC|，设a， b，则()Aab BabC.ab Dab解析：bba.答案：C8设向量a，b的夹角为，且|a|，|b|3，m是向量b在a方向上的投影，则函数y|a|m的最大值和最小值的和为()A. B8 C. D.解析：由条件可知m3cos.把m3cos和|a|代入y|a|m可得y()3cos.由0可知33cos3，所以函数的最大值为8，最小值为，故最大值和最小值的和为.答案：C9定义在
4、R上的偶函数f(x)满足f(x)f(x)，若x0，时解析式为f(x)cosx，则f(x)0的解集为()A(2k，2k)(kZ)B(2k，2k)(kZ)C(2k，2k)(kZ)D(2k，2k)(kZ)解析：根据题意画出f(x)的图象，观察可得x(2k，2k)(kZ)答案：B10在ABC中，BC1，B，若ABC的面积等于，则tanC()A. BC2 D2解析：依题意得BCABsinB，故AB4，则AC，则cosC，sinC，故tanC2.答案：D11如图，角的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边经过点P(3，4)角的顶点在原点O，始边在x轴的正半轴，终边OQ落在第二象限，且tan2，则cosPO
5、Q的值为()A BC. D.解析：为第二象限角且tan2，sin，cos，同理，为第三象限角，sin，cos，cosPOQcos()coscossinsin()()().答案：A12设函数f(x)sin(2x)，则下列结论正确的是 ()Af(x)的图象关于直线x对称Bf(x)的图象关于点(，0)对称C把f(x)的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象Df(x)的最小正周期为，且在0，上为增函数解析：令2xk，kZ，即x(kZ)，A选项错误，又令2xk，kZ，得x(kZ)，B选项错误，又f(x)sin(2x)ysin2(x)sin(2x)cos2x，选项C正确当x0，时，2x，函数f(x)si
6、n(2x)在0，上先增后减，选项D错误答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13已知点P(sin，cos)落在角的终边上，且0,2，则tan()的值为_解析：由题可知点P(sin，cos)在第四象限，且落在角的终边上，所以tan1，所以tan()2.答案：214如图，正方形ABCD中，已知AB2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则的最大值是_解析：设，的夹角为.|cos2|cos.由图可知，|cos的最大值即为|AB|.的最大值为224.答案：415在ABC中，已知ABc，C50，当B_时，BC的长取到最大值解析：，BCsin(18050B)，故
7、当B40时，BC的长取到最大值答案：4016将函数f(x)2sin(x)(0)的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象若yg(x)在0，上为增函数，则的最大值为_解析：将函数f(x)2sin(x)(0)的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，即g(x)2sin(x)2sinx.由g(x)2sinx在0，上为增函数，知：g(x)2sinx在，上为增函数，根据正弦函数的性质知：2kx2k，即x时，yg(x)为增函数，故，所以，又0，则02，所以的最大值为2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知sin(
8、)，(0，)(1)求sin2cos2的值；(2)求函数f(x)cossin2xcos2x的单调增区间解：sin()，sin，又(0，)，cos.(1)sin2cos22sincos2.(2)f(x)sin2xcos2xsin(2x)令2k2x2k，得kxk，kZ，函数f(x)的单调递增区间为k，k(kZ)18(本小题满分12分)已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m(a，b)，n(sinB，sinA)，p(b2，a2)(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积解：(1)证明：mn，asinAbsinB，即ab，其中R是三角形ABC外
9、接圆半径，ab.ABC为等腰三角形(2)由题意可知mp0，即a(b2)b(a2)0.abab.由余弦定理可知，4a2b2ab(ab)23ab，即(ab)23ab40，ab4(舍去ab1)，SabsinC4sin.19(本小题满分12分)已知函数f(x)2sinxcosx(2cos2x1)(1)将函数f(x)化为Asin(x)(0，|0,0)函数f(x)(ab)(ab)的图象过点M(1，)，且相邻两对称轴之间的距离为2.(1)求f(x)的表达式；(2)求f(0)f(1)f(2)f(10)的值解：(1)f(x)(ab)(ab)a2b2|a|2|b|2sin2(x)41cos2(x)cos(2x2)
10、3.由题意知，函数f(x)的周期T224，.又函数f(x)的图象过点M，3cos(12)，即sin2.0，2，.f(x)3cos(x)(2)函数yf(x)的周期T4，f(0)f(1)f(2)f(3)(3)(3)(3)(3)12，f(0)f(1)f(2)f(10)2f(0)f(1)f(2)f(3)f(8)f(9)f(10)212f(8)f(9)f(10)212f(0)f(1)f(2)212(3)(3)(3)33.22(理)(本小题满分12分)已知向量a(x23,1)，b(x，y)(其中实数y和x不同时为零)，当|x|2时，有ab，当|x|2时，有ab.(1)求函数式yf(x)；(2)求函数f(x
11、)的单调递减区间；(3)若对任意的x(，22，)，都有mx2x3m0，求实数m的取值范围解：(1)当|x|2时，由ab，得ab(x23)xy0，yx33x(|x|2且x0)当|x|2时，由ab，得y，yf(x)(2)当|x|2且x0时，由f(x)3x230，函数f(x)的单调减区间为(1,0)和(0,1)(3)对任意的x(，22，)，都有mx2x3m0即m(x23)x，也就是m对任意的x(，22，)恒成立，由(2)知当|x|2时，f(x)0，函数f(x)在(，2和2，)上都单调递增又f(2)2，f(2)2，当x2时，f(x)0，当x(，2时，0f(x)2.同理可得，当x2时，有2f(x)0.综上所述得，对任意的x(，22，)，f(x)取得最大值为2.实数m的取值范围为2，)(文)已知函数f(x)2sin(x)sin(x)(其中为正常数，xR)的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，若AB，且f(A)f(B)，求的值解：(1)f(x)2sin(x)sin(x)2sin(x)cos(x)2sin(x)cos(x)sin(2x)，而f(x)的最小正周期为，为正常数，解得1.(2)由(1)得f(x)sin(2x)，若x是三角形的内角，则0x，2x.令f(x)，得sin(2x)，2x或2x，解得x或x.A，B是ABC的内角，AB，且f(A)f(B)，A，B，CAB，由正弦定理，得.