1、第一部分 专题一 第4讲 导数及其应用（文科）(限时60分钟，满分100分)一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)1一个物体的运动方程是s1tt2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A7 m/sB6 m/sC5 m/s D8 m/s解析：s12t，s|t3165，t3 s时的瞬时速度为5 m/s.答案：C2函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1x2等于()A9 B9 C1 D1解析：f(x)3x22ax3，则x1x21.答案：C3设a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的导函数是f(x)，且f(x)是偶函数，则
2、曲线yf(x)在原点处的切线方程为()Ay2x By3xCy3x Dy4x解析：由已知得f(x)3x22axa2，因为f(x)是偶函数，所以a0，即f(x)3x22，从而f(0)2，所以曲线yf(x)在原点处的切线方程为y2x.答案：A4函数yf(x)在定义域(，3)内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为()A，12,3) B1，C，1,2 D，解析：由题意知，选择f(x)的减区间即为所求答案：A5(精选考题山东高考)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量
3、为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件解析：因为yx281，所以当x9时，y0；当x(0,9)时，y0，所以函数yx381x234在(9，)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x9是函数的极大值点，又因为函数在(0，)上只有一个极大值点，所以函数在x9处取得最大值答案：C6下列图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的导函数f(x)的图象，则f(1)()A. B C. D或解析：f(x)x22ax(a21)，导函数f(x)的图象开口向上又a0，其图象必为第三个图由图象特征知f(0)0，且a0，a1，故f(1)11.答案：B二、填空题(本大题共3个小题，每小
4、题6分，共18分)7函数f(x)x33tx3t在(0,1)内有极小值，则t的取值范围是_解析：f(x)3x23t0，x(t0)经验证知x时，f(x)有极小值01.从而0t1.答案：(0,1)8曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x2所围成的三角形的面积为_解析：yx3在点(1,1)处的切线方程为y1f(1)(x1)，即y3x2.作图可知：SABC|AB|BC|(2)4.答案：9已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是_当x时函数取得极小值；f(x)有两个极值点；当x2时函数取得极小值；当x1时函数取得极大值
5、解析：从图象上可以看到：当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x2时函数取得极小值，当x1时函数取得极大值只有不正确答案：三、解答题(本大题共3个小题，共46分)10(本小题满分15分)已知函数f(x)x33ax2bx，其中a，b为实数(1)若f(x)在x1处取得的极值为2，求a，b的值；(2)若f(x)在区间1,2上为减函数，且b9a，求a的取值范围解：(1)由题设可知：f(1)0且f(1)2，即解得a，b5.(2)f(x)3x26axb3x26ax9a，又f(x)在1,2上为减函数，f(x)0对x1,2恒
6、成立即3x26ax9a0对x1,2恒成立f(1)0且f(2)0，即a1，a的取值范围是a1.11(本小题满分15分)已知三次函数f(x)x3ax2bxc在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减(1)求a，b的值；(2)若当且仅当x4时，f(x)x24x5，求f(x)的解析式解：(1)f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减，f(x)3x22axb0有两根1,2，(2)令H(x)f(x)(x24x5)x3x22xc5，则H(x)3x25x2.因为H(x)在4，)上恒大于0，所以H(x)在4，)上单调递增，故H(4)0，c11，f(x)x3x26x11.12(本
7、小题满分16分)已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在x1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a上的最小值和最大值解：(1)对f(x)求导，得f(x)3x22ax3.由f(x)0(x1)，得a(x)记t(x)(x)，当x1时，t(x)是增函数，t(x)min(11)0.a0，又a0时也符合题意，故a0.(2)由题意，得f(3)0，即276a30，a4，f(x)x34x23x，f(x)3x28x3.令f(x)0，得x1，x23.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，)(，3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值当
8、x(，与3，)时，f(x)是增函数；当x，3时，f(x)是减函数于是，当x1,4时，有极小值f(3)18；而f(1)6，f(4)12，f(x)maxf(1)6，f(x)min18.1设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A(a，b)B(a，c)C(b，c) D(ab，c)解析：f(x)3ax22bxc，由题意知1、1是方程3ax22bxc0的两根，11，b0，故选A.答案：A2函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A无极大值点、有四个极小值点B有三个极大值点、两个极小值点C有两个极大值点、两个极小值点D有四
9、个极大值点、无极小值点解析：设f(x)与x轴的4个交点，从左至右依次为x1、x2、x3、x4，当xx1时，f(x)0，f(x)为增函数，当x1xx2时，f(x)0，f(x)为减函数，则xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点答案：C3若曲线C：yx32ax22ax上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数a的值等于()A2 B0C1 D1解析：曲线C上任意点处的切线的倾斜角都是锐角，即y0恒成立，即3x24ax2a0恒成立，16a224a0解得0a，因为a为整数，所以a1.答案：C4设函数f(x)x3ax，g(x)2x2b，已知它们的图象在x1处有相同的切线(1)求函
10、数f(x)和g(x)的解析式；(2)若函数F(x)f(x)mg(x)在区间，3上是单调减函数，求实数m的取值范围解：(1)f(x)3x2a，g(x)4x，即f(x)x3x，g(x)2x2.(2)F(x)f(x)mg(x)x3x2mx2，F(x)3x24mx1.若x，3时，F(x)是单调减函数，则3x24mx10恒成立，得m.5设函数f(x)x3x26xa.(1)对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围解：(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)，因为x(，)，f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立，所以8112(6m)0，得m，即m的最大值为.(2)因为当x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取极大值f(1)a，当x2时，f(x)取极小值f(2)2a，故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)0仅有一个实根解得a2或a.