1、第13讲 点、直线、平面之间的位置关系 第13讲 点、直线、平面之间 的位置关系 主干知识整合第13讲 主干知识整合 1平行关系的转化两平面平行问题常常转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图 2解决平行问题时要注意以下结论的应用(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面第13讲 主干知识整合 (3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交(4)平行于同一条直线的两条直线平行(5)平行于同一个平面的两个平面平行(6)如果一条直线与
2、两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行3垂直关系的转化与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图 在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化要点热点探究第13讲 要点热点探究 探究点一 空间线面位置关系的判断 例 1 2011四川卷 l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3 共面Dl1，l2，l3 共点l1，l2，l3 共面 第13讲 要点热
3、点探究 B【解析】对于 A，直线 l1 与 l3 可能异面；对于 C，直线 l1、l2、l3 可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于 D，直线 l1、l2、l3 相交于同一个点时不一定共面.所以选 B.【点评】在直线与直线的位置关系中，要注意平面上两直线位置关系的结论，在空间不一定成立在解决点线面位置关系的判断时要注意空间问题和平面问题的区别与联系第13讲 要点热点探究 已知 a，b，c 是三条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是()Aac，bcabBa，babC，D，D【解析】选项 A 中的结论只在平面内成立，在空间不成立；空间线面的平行没有传递性；垂直于同一个平面的两个
4、平面不一定平行；空间平面的平行关系具有传递性这类空间结论的判断题，只要根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行，必要时可以利用长方体模型，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中第13讲 要点热点探究 探究点二 平行与垂直关系的证明例 2 2011江苏卷 如图 131，在四棱锥 PABCD 中，平面PAD平面 ABCD，ABAD，BAD60，E、F 分别是 AP、AD的中点求证：(1)直线 EF平面 PCD；(2)平面 BEF平面 PAD.图 131第13讲 要点热点探究【分析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力【解答】证明：(1)
5、在PAD 中，因为 E，F 分别为AP，AD 的中点，所以 EFPD.又因为 EF平面 PCD，PD平面 PCD，所以直线 EF平面 PCD.第13讲 要点热点探究(2)连接 BD，因为 ABAD，BAD60，所以ABD 为正三角形，因为 F 是 AD 的中点，所以 BFAD.因为平面 PAD平面 ABCD，BF平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，所以 BF平面 PAD.又因为 BF平面 BEF，所以平面 BEF平面 PAD.第13讲 要点热点探究【点评】在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中
6、点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直第13讲 要点热点探究 如图 132，已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD，ABC60，点 E、G 分别是 CD、PC 的中点，点 F 在 PD 上，且 PFFD21.(1)证明：EAPB；(2)证明：BG平面 AFC.图 132 第13讲 要点热点探究【解答】证明：(1)因为底面 ABCD 为菱形，且ABC
7、60，所以ACD 为等边三角形又因为 E 是 CD 的中点，所以 EAAB.又 PA平面 ABCD，所以 EAPA.由 PAABA，所以 EA平面 PAB，所以 EAPB.(2)取 PF 中点 M，所以 PMMFFD.连接 MG，MGCF，所以 MG平面 AFC.连接 BM，BD，设 ACBDO，连接 OF，所以 BMOF，所以 BM平面 AFC.所以平面 BGM平面 AFC，所以 BG平面 AFC.第13讲 要点热点探究 探究点三 空间角与距离的求法例 3 2011全国卷 已知点 E，F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1，CC1 上，且 B1E2EB，CF2FC1，则面 A
8、EF 与面 ABC所成的二面角的正切值等于_ 23 【解析】方法一：在平面 BC1 内延长 FE 与 CB 相交于 G，过 B 作BH 垂直 AG，则 EHAG，故BHE 是平面 AEF 与平面 ABC 所成二面角的平面角设正方体的棱长为 a，可得 BEa3，BGa，所以 BH 22 a，则 tanBHEBEBHa322 a 23.第13讲 要点热点探究 方法二：设正方体的棱长为 3，建立以 B1A1 为 x 轴，B1C1 为 y 轴，B1B为 z 轴的空间直角坐标系，则 A(3,0,3)，E(0,0,2)，F(0,3,1)，则EA(3,0,1)，EF(0,3，1)，设平面 AEF 的法向量为
9、 n(x，y，z)，则 nEA，nEF，即 3xz0 且 3yz0，取 z3，则 x1，y1，所以 n(1,1,3)又平面 ABC 的法向量为 m(0,0,3)，所以面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的余弦值为 cos mn|m|n|3 1111，sin13 11112 2211，所以 tan 23.第13讲 要点热点探究 例 4 2011全国卷 已知直二面角 l，点 A，ACl，C为垂足点 B，BDl，D 为垂足若 AB2，ACBD1，则D 到平面 ABC 的距离等于()A.23B.33C.63D1C【解析】，ACl，AC，则平面 ABC，在平面 内过 D 作 DEBC，则 DE平面 A
10、BC，DE即为 D 到平面 ABC 的距离，在DBC 中，运用等面积法得DE 63，故选 C.第13讲 要点热点探究 第13讲 要点热点探究(1)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是()A30B45C60D90(2)如图 133，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H 分别为 DE，AF 的中点，将ABC 沿 DE，EF，DF 折成正四面体PDEF，则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值为_图 133 第13讲 要点热点探究(1)C(2)23【解析】
11、(1)如图，E 为 BC 中点，设三棱柱的棱长为 2，则 DE1，AE 3且 AE平面 B1BCC1，则 tanADE 3，故所求的角是 60.第13讲 要点热点探究(2)折成的四面体是正四面体，画出立体图形，根据中点找平行线，把所求的异面直线角转化到一个三角形的内角来计算如图，连接 HE，取 HE 的中点 K，连接 GK，则 GKDH，故PGK 即为所求的异面直线所成的角或者其补角设这个正四面体的棱长为 2，在PGK 中，PG 3，GK 32，PK 12322 72，故 cos PGK 323227222 3 3223.即异面直线 PG 与 DH 所成的角的余弦值是23.第13讲 规律技巧提
12、炼 1求二面角问题中，如果图形中没有显示出二面角的棱，则要根据平面的三个公理作出这个二面角的棱2在空间中线线平行和面面平行都有传递性，但线面平行没有传递性在空间任意平移两条直线不改变两条直线所成的角，同时注意两直线所成角的范围是0，2.3两异面直线所成的角归结到一个三角形中的内角时，容易忽视这个三角形中的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角规律技巧提炼第13讲 规律技巧提炼 4面面垂直的性质定理在立体几何中是一个极为关键的定理，这个定理的主要作用是作一个平面的垂线，在一些垂直关系的证明中，在线面角、二面角的求解中很多情况都要借助这个定理作出平面的垂线垂直问题的关键是线面垂直，通过线
13、面垂直证明线线垂直(线面垂直的定义)，通过线线垂直证明线面垂直(线面垂直的判定定理)、面面垂直(面面垂直的判定定理)，在解决垂直问题中要把这些垂直关系理清，确定合理的推理论证顺序第13讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：例 1 训练学生对空间平行关系的综合运用；例 2 训练学生使用综合几何的方法解决立体几何问题第13讲 教师备用例题 例 1 设 m，n 是平面 内的两条不同直线；l1，l2 是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分而不必要条件是()Am 且 l1Bml1 且 nl2Cm 且 nDm 且 nl2 第13讲 教师备用例题【解析】B 选项 A 作条件，由于这是两个平面中各有一条直
14、线与另一个平面平行，是不能得到 的，但 却能得到选项 A，故选项 A 是必要而不充分条件；选项 B 作条件，此时 m，n 一定是平面 内的两条相交直线(否则，根据公理 4 得直线 l1l2，与已知矛盾)，这就符合两个平面平行判定定理的推论“一个平面内如果有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行”，故条件是充分的，但是在 时，由于直线 m，n 在平面 内的位置不同，只能得到 m，n 与平面 平行，得不到 ml1，nl2的结论，故条件是不必要的，故选项 B 中的条件是充分而不必要的；第13讲 教师备用例题 选项 C 作条件，由于 m，n 只是平面 内的两条不同直线，这两
15、条直线可能相互平行，故得不到 的必然结论，这个条件是不充分的，但 却能得到选项 C，故选项 C 是必要而不充分条件；选线 D 作条件，由 nl2 可得 n，这样平面 的直线 m，n分别与平面 平行，由于 m，n 可能平行，故也得不到 的必然结论，故这个条件是不充分的，当 时，只能得到 m 但得不到 nl2，故条件也不是必要的，选项 D 中的条件是既不充分也不必要的 第13讲 教师备用例题 例 2 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD60，ABPA2，PA平面 ABCD，E 是 PC 的中点，F 是 AB 中点(1)求证：BE平面 PDF；(2)求证：平面 PDF平面
16、PAB；(3)求 BE 与平面 PAC 所成的角第13讲 教师备用例题【解答】(1)证明：取 PD 中点为 M，连 ME，MF.E 是 PC 的中点，ME 是PCD 的中位线，ME12CD.F 是 AB 的中点且四边形 ABCD 是菱形，ABCD，MEFB，四边形 MEBF 是平行四边形，BEMF.BE平面 PDF，MF平面 PDF，BE平面 PDF.(2)证明：PA平面 ABCD，DF平面 ABCD，DFPA.底面 ABCD 是菱形，BAD60，DAB 为正三角形F 是 AB 中点，DFAB.PA、AB 是平面 PAB 内的两条相交直线，DF平面 PAB.DF平面 PDF，平面 PDF平面 PAB.第13讲 教师备用例题(3)连 BD 交 AC 于 O、连 EO，底面 ABCD 是菱形，BOAC.PA平面 ABCD，BO平面 ABCD，BOPA.PA、AC 是平面 PAC 内的两条相交直线，BO平面 PAC，EO 是 BE 在平面 PAC 内的射影，BEO 是 BE 与平面 PAC 所成的角O 是 AC、BD 的中点，BO1，EO 是PAC 的中位线，EO12PA1.在直角BEO 中，tanBEOBOEO1，BEO45.直线 BE 与平面 PAC 所成的角为 45.