1、第七章 立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2010浙大附中模拟)已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所示的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为()A.B. C. D.解析：根据三视图可以画出该几何体的直观图如图所示，CD垂直于等腰直角三角形ABC所在平面，于是，易得SSABCSACDSCBD.答案： D2已知a、b为两条不同的直线，、为两个不同的平面，且a，b，则下列命题中为假命题的是 ()A若ab，则 B若，则abC若a，b相交，则，
2、相交 D若，相交，则a，b相交解析：若，相交，则a，b既可以是相交直线也可以是异面直线答案：D3设，是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A若，则 B若，m，m，则mC若，m，则m D若m，n，则mn解析：A中与可以平行，C中可能有m，D中m与n可以平行 答案：B4已知两条不同直线l1和l2及平面，则直线l1l2的一个充分条件是 ()Al1且l2 Bl1且l2Cl1且l2 Dl1且l2解析：根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可知B为l1l2的一个充分条件答案：B5若平面，满足，l，P，Pl，则下列命题中的假命题为()A过点P垂直于平面的直线平行于平面B过点
3、P在平面内作垂直于l的直线必垂直于平面C过点P垂直于平面的直线在平面内D过点P垂直于直线l的直线在平面内解析：根据面面垂直的性质定理，有选项B、C正确对于A，由于过点P垂直于平面的直线必平行于内垂直于交线的直线，因此平行于平面.因此A正确答案：D6.用一些棱长是1 cm的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这个几何体的体积最多是 ()A6 cm3 B7 cm3 C8 cm3 D9 cm3解析：由正视图与俯视图可知小正方体最多有7块，故体积最多为7 cm3.答案：B7过平行六面体ABCDA1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ()A4条 B
4、6条 C12条 D8条解析：如图，P、E、F、H分别为AD、AB、A1B1、A1D1的中点，则平面PEFH平面DBB1D1，所以四边形PEFH的任意两顶点的连线都平行于平面DBB1D1，共6条，同理在另一侧面也有6条，共12条答案：C8(2010皖中模拟)已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积是 ()A81 B36 C. D144解析：补成长方体易求4R281，S4R281.答案：A9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱DC的中点，则D1P与BC1所在直线所成角的余弦值等于 ()A B. C. D.解析：过C1
5、作D1P的平行线交DC的延长线于点F，连结BF，则BC1F或其补角等于异面直线D1P与BC1所成的角设正方体的棱长为1，由P为棱DC的中点，则易得BC1=，C1F=在BC1F中，cosBC1F=答案：B10.理如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为 ()A. B. C. D. 解析：如图，取C1A1、CA的中点E、F，连接B1E与BF，则B1E平面CAA1C1，过D作DHB1E，则DH平面CAA1C1，连接AH，则DAH为所求的DH=B1E=，DA=，所以sinDAH=答案：A文如右图所示，在立体图形D-ABC
6、中，若AB=BC，AD=CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是 ()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE解析：BEAC，DEACAC平面BDE，故平面ABC平面BDE，平面ADC平面BDE.答案：C11已知直线m、n及平面，其中mn，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集其中正确的是()A(1)(2)(3) B(1)(4) C(1)(2)(4) D(2)(4)解析：如图1，当直线m或直线n在平面内时不可能有符合题意的点；
7、如图2，直线m、n到已知平面的距离相等且两直线所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.答案：C12设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交当甲成立时 ()A乙是丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l、m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“
8、l、m中至少有一条与平面相交”也成立，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13(2009辽宁高考)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)则该几何体的体积为m3.解析：由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V=234=4 m3，答案：414理如图，AD平面BCD，BCD90，ADBCCDa，则二面角CABD的大小为_ 解析：取BD的中点E，连结CE，则CE面ABD，作EFAB，CFAB得CFE为所求又CE=a，CF=，sinCFE=答案：60文如图，正方体AB
9、CD-A1B1C1D1中，MA1B， NB1C，A1M=B1N，有以下四个结论：A1AMN；ACMN；MN与平面ABCD成0角；MN与AC是异面直线其中正确结论的序号是.解析：易知正确答案：15母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为_解析：圆锥的侧面展开图扇形的弧长，即底面圆的周长为1，于是设底面圆的半径为r，则有2r，所以r，于是圆锥的高为h，故圆锥的体积为V.答案：16(2009江南测试)棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为_解析：因为正方体内接于球，所以2R=，R=，过球
10、心O和点E、F的大圆的截面图如图所示，则直线被球截得的线段为QR，过点O作OPQR于点P，所以，在QPO中，QR=2QP=2答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)(2010泉州模拟)如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)(1)求四棱锥P-ABCD的体积；(2)证明：BD平面PEC；(3)若G为BC上的动点，求证：AEPG. 解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，且PA4，BE2，
11、ABADCDCB4，VPABCDPASABCD444.(2)证明：连结AC交BD于O点， 取PC中点F，连结OF，EBPA，且EBPA，又OFPA，且OFPA，EBOF，且EBOF，四边形EBOF为平行四边形，EFBD. 又EF平面PEC，BD平面PEC，所以BD平面PEC.(3)连结BP，EBABAP90，EBABAP，PBABEA，PBABAEBEABAE90，PBAE.又BC平面APEB，BCAE，AE平面PBG，AEPG.18.(本小题满分12分)已知直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1，过A作AECD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将ADE沿AE
12、折叠，使DEEC.(1)求证：BC平面CDE；(2)求证：FG平面BCD；(3)求四棱锥DABCE的体积.解：(1)证明：由已知得：DEAE，DEEC，DE平面ABCE.DEBC.又BCCE，CEDEE，BC平面DCE (2)证明：取AB中点H，连结GH，FH，GHBD，FHBC，GH平面BCD，FH平面BCD. 又GHFHH，平面FHG平面BCD， FG平面BCD(由线线平行证明亦可).(3)V12.19.(本小题满分12分)(2010徐州模拟)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，ADPA2，CD2，E、F分别是AB、PD的中点. (1)求证：AF平面PCE；(2)求证：平面PCE平面P
13、CD；(3)求四面体PEFC的体积.解：(1)证明：设G为PC的中点，连结FG，EG，F为PD的中点，E为AB的中点，FG CD，AECDFG AE，AFGEGE平面PEC，AF平面PCE；(2)证明：PAAD2，AFPD 又PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，ADCD，PAADA，CD平面PAD，AF平面PAD，AFCD.PDCDD，AF平面PCD，GE平面PCD，GE平面PEC，平面PCE平面PCD； (3)由(2)知，GE平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GFCD，所以GFPD，EGAF，GFCD， SPCFPDGF2.得四面体PEFC的体积VSPCFEG.20.理(
14、本小题满分12分)如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，ADDC，PA底面ABCD，PAADDCAB1，M为PC的中点，N点在AB上且ANNB.(1)证明：MN平面PAD；(2)求直线MN与平面PCB所成的角.解：(1)证明：过M作MECD交PD于E，连接AE.ANNB，ANABDCEM.又EMDCAB，EMAN，AEMN为平行四边形，MNAE，又AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)过N点作NQAP交BP于点Q，NFCB交CB于点F，连接QF，过N点作NHQF交QF于H，连接MH.易知QN平面ABCD，QNBC，而NFBC，BC平面QNF，BCNH，而NHQF，NH平面PB
15、C，NMH为直线MN与平面PCB所成的角.通过计算可得MNAE，QN，NF，NH，sinNMH，NMH60 直线MN与平面PCB所成的角为60.文(本小题满分12分)(2009南通模拟)如图，已知在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ACBC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点.(1)求证：平面PCC1平面MNQ；(2)求证：PC1平面MNQ.证明：(1)ACBC，P为AB的中点，ABPC，又CC1AA1，AA1平面ABC，CC1平面ABC，CC1AB，又CC1PCC，AB平面PCC1，由题意知MNAB，故MN平面PCC1，MN在平面MNQ内，平面PCC1平面M
16、NQ.(2)连接AC1、BC1， BC1NQ，ABMN， 又BC1ABB，平面ABC1平面MNQ，PC1在平面ABC1内，PC1平面MNQ.21.理(本小题满分12分)(2009西安八校联考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCCC12，ACBC，D为AB的中点.(1)求证：AC1平面B1CD；(2)求二面角BB1CD的正弦值.解：(1)证明：如图，连接BC1交B1C于点E，则E为BC1的中点.D为AB的中点，在ABC1中，AC1DE又AC1平面B1CD，DE平面B1CD，AC1平面B1CD(2)ACBC，D为AB的中点，CDAB.又平面ABC平面ABB1A1，CD平面ABB1A1.
17、平面B1CD平面B1BD，过点B作BHB1D，垂足为H，则BH平面B1CD，连接EH，B1CBE，B1CEH，BEH为二面角BB1CD的平面角.在RtBHE中，BE，BH，则sinBEH.即二面角BB1CD的正弦值为.文(本小题满分12分)已知ABCD是矩形，AD4，AB2，E、F分别是线段AB、BC的中点，PA平面ABCD.(1)证明：PFFD；(2)在PA上找一点G，使得EG平面PFD.解：(1)证明：连接AF，则AF2，DF2，又AD4，DF2AF2AD2，DFAF.又PA平面ABCD，DFPA，又PAAFA，(2)过点E作EHFD交AD于点H，则EH平面PFD且AHAD.再过点H作HG
18、DP交PA于点G，则HG平面PFD且AGAP，平面EHG平面PFD.EG平面PFD.从而满足AGAP的点G为所求.22.理(本小题满分14分)(2009东北四市模拟)如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB4，点E在CC1上，且CECC1.(1)为何值时，A1C平面BED；(2)若A1C平面BED，求二面角A1BDE的余弦值.解：法一：(1)连接B1C交BE于点F，连接AC交BD于点G，ACBD，由垂直关系得，A1CBD，若A1C平面BED，则A1CBE，由垂直关系可得B1CBE，BCEB1BC，CE1，.(2)连接A1G，连接EG交A1C于H，则A1GBD.A1C平面BED，A
19、1GE是二面角A1BDE的平面角.A1G3，EG，A1E，cosA1GE，法二：(1)以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，射线DD1为z轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系Dxyz.依题设，D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，CECC14，E(0,2,4)， (2,2,0)，(2,0,4)，(2,2，4)，(0,2,4)，2(2)220(4)0，DBA1C.若A1C平面BED，则A1CDE，(2)022(4)44160，.(2)设向量n(x，y，z)是平面DA1B的一个法向量，则n，n，2x2y0,2x4z0， 令z1，则x2，y
20、2，n(2,2,1)由(1)知平面BDE的一个法向量为(2,2，4)cosn，.即二面角A1BDE的余弦值为.文(本小题满分14分)(2009泰州模拟)如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将AEF折起到AEF的位置，连结AB、AC，P为AC的中点.(1)求证：EP平面AFB；(2)求证：平面AEC平面ABC；(3)求证：AA平面ABC.证明：(1)E、P分别为AC、AC的中点， EPAA，又AA平面AAB，EP平面AAB，EP平面AAB，即EP平面AFB.(2)BCAC，由题意知EFAE，EFBC，BCAE，又AEACE，BC平面AEC，BC平面ABC，平面ABC平面AEC.(3)在AEC中，P为AC的中点，又AEEC，EPAC， 在AAC中，EPAA，AAAC.由(2)知：BC平面AEC，又AA平面AEC，BCAA，BCACC，AA平面ABC.