1、江苏省常州市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.如果，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】因为，所以，故A错误；因为，当时，得，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查不等式的性质，属于简单题.2.在等差数列中，已知，则（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据条件，
2、得到的值，求出答案.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，解得所以故选：C.【点睛】本题考查等差数列通项中的基本量计算，属于简单题.3.经过点的抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. 或D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】分情况设出抛物线的方程，代入已知点即可得到具体方程【详解】由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为或，将点代入可得或，所以所求抛物线的标准方程为或.故选.【点睛】这个题目考查了抛物线方程的求法，可称为待定系数法，较为基础.4.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据命题的否定的要求，写出原命题的否定，得到答案.【详解】
3、原命题为命题“，”所以命题的否定为“，”故选：A.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.5.椭圆的左、右顶点分别是，左右焦点分别是，若，成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意表示出，根据它们成等比数列，得到，的关系式，整理化简得到答案.【详解】由题意，因为，成等比数列，所以，即所以椭圆离心率.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，求椭圆的离心率，属于简单题.6.在下列函数中，最小值为2的是（ ）A. （且）B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据基本不等式的使用条件，对四个选项分别进行判断，得到答案.【详解】选
4、项A，当时，所以最小值为不正确；选项B，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，而，所以等号不成立，所以不正确；选项C， 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以正确；选项D，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，而，所以不正确.故选：C.【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用条件，属于简单题.7.已知空间向量，则“”是“”的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的点积运算得到x的值，进而得到结果.【详解】，或-3.故x=1是的充分不必要条件.故答案为B.【点睛】这个题目考查了向量
5、垂直的坐标表示，也考查了充分必要条件的判断，题目基础. 判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系8.若，且，则下列说法中正确的是（ ）A. 当且仅当时取得最小值B 当且仅当时取得最大值C. 当且仅当为定值时取得最小值D. 当且仅当为定值且时取得最大值【答案】D【解析】
6、【分析】根据基本不等式的求积的最大值，以及基本不等式的使用条件，得到答案.【详解】因为，且，根据基本不等式使用条件“一正二定三相等”当且仅当为定值，当且仅当时，等号成立.即当且仅当为定值且时取得最大值故选：D.【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，基本不等式的使用条件，属于简单题.9.周髀算经中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（ ）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式和前项和公式列
7、方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.【详解】从冬至起，日影长依次记为，根据题意，有，根据等差数列的性质，有，而，设其公差为，则有，解得，所以冬至的日影子长为尺，故选A.【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.10.已知离心率为的双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于、两点若的面积为2，则实数的值为（ ）A. 2B. C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】根据题意，根据离心率为，求出双曲线的渐近线，然后得到为等腰直角三角形，根据其面积为，得到的值，再得到的值.【详解
8、】因为双曲线的离心率为，所以，所以得到，所以所以双曲线：的渐近线为取，倾斜角为，为直径，所以，所以为等腰直角三角形所以，解得所以.故选：A.【点睛】本题考查根据双曲线的离心率求渐近线方程，双曲线的几何性质，属于简单题.11.如图，在三棱锥中，平面，点、分别为，的中点，点在线段上若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以为原点建立空间直角坐标系，得到各点的坐标，然后得到和的坐标，根据向量的夹角公式，得到异面直线与所成角的余弦值.【详解】因，平面，所以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，所以，点、分别为，的中点所以，因为，所以所以，所以异面直
9、线与所成角的余弦值为故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题.12.已知为椭圆：的右焦点，点，为椭圆上三点，当时，称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ）A. 0个B. 1个C. 3个D. 无数个【答案】D【解析】【分析】根据得到为的重心，设，则得到边中点的坐标，要求在椭圆内，且为弦中点，即存在满足要求的“和谐三角形”，从而得到答案.【详解】因为为椭圆：的右焦点，所以因为，所以为的重心，设边的中点为，则所以，所以设，所以将，代入椭圆方程得两式相减，得到整理得到所以方程为当在椭圆内时，得，而所以得到所以当时，直线与椭圆：一定有两个交点和，满足为的重心，即满足，使得
10、为“和谐三角形”，因此满足要求的情况有无数种，所以“和谐三角形”有无数个.故选：D.【点睛】本题考查三角形重心的性质，点差法求弦中点所在的直线，点与椭圆的位置关系，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上）13.不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】首先将所给的不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可.【详解】题中所给的不等式即：，该不等式等价于：，求解二次不等式可得：，则不等式的解集为.故答案为【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法 ，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14
11、.已知正数，满足，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据，利用基本不等式得到的范围，再根据对勾函数的性质，得到的最小值.【详解】因为正数，满足，根据基本不等式得所以，设则在上单调递减所以最小值为.故答案为：【点睛】本题考查基本不等式求积的最大值，对勾函数的性质，属于简单题.15.若数列的通项公式为，数列满足，则数列的前10项和为_【答案】【解析】【分析】根据的通项，得到的通项，利用分组求和和裂项相消法，求出的前10项和.【详解】因为，所以所以的前10项和.故答案为：【点睛】本题考查求数列的通项，分组求和法和裂项相消求和，属于简单题.16.点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是
12、_【答案】【解析】【分析】根据椭圆方程，得到焦点，所以到两圆的圆心距离之和为，从而得到，最小值为，最大值为.【详解】椭圆，焦点，而圆和的圆心为，所以到两圆圆心的距离之和为，而、分别是圆和上的动点所以.所以取值范围是.故答案：.【点睛】本题考查椭圆的定义，点到圆的距离的范围，属于简单题.三、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知：，：，其中（1）求使得为真命题的实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据为真命题，解不等式，得到的取值范围；（2）根据是的充分不必
13、要条件，得到关于的不等式组，解得的取值范围.【详解】解：（1）因为为真命题，所以，解得：.（2）由（1）得：，：解得：所以：，因为是的充分不必要条件，所以且等号不能同时成立.解得：，所以实数的取值范围.【点睛】本题考查根据命题的真假求变量的范围，根据充分不必要条件求参数的范围，属于简单题.18.已知数列的前项和为，且是与2的等差中项数列中，点在直线上（1）求和的值；（2）求数列，的通项公式；（3）设，求数列的前项和【答案】（1）， （2）， （3）【解析】【分析】（1）根据题意得到，分别令，得到，；（2）当时，再验证时，得到的通项，根据点在直线上，得，得到为等差数列，从而得到其通项；（3）根据
14、，得到的通项，然后利用错位相减法，得到前项和.【详解】解：（1）由当时，得，即，解得；当时，得，即，解得.（2）由得；（）将两式相减得，即，所以，因为，所以，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以.数列中，点在直线上，得，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以.（3），所以上式减下式得所以.【点睛】本题考查由和的关系求数列通项，等差数列基本量计算，错位相减法求和，属于中档题.19.如图，两铁路线垂直相交于站，若已知千米，甲火车从站出发，沿方向以千米小时的速度行驶，同时乙火车从站出发，沿方向，以千米小时的速度行驶，至站即停止前行（甲车扔继续行驶）（两车的车长忽略不计）.（1）求
15、甲、乙两车最近距离（用含的式子表示）；（2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为小时，问为何值时最大？【答案】（1）；（2）时，最大.【解析】【分析】（1）先设行驶小时后，甲乙两车的距离最近，记此时甲车行驶到点，乙车行驶到点，根据题意，得到，由勾股定理，表示出，再由配方法，即可得出结果；（2）先由（1）得，根据基本不等式，即可得出结果.【详解】（1）设行驶小时后，甲乙两车的距离最近，记此时甲车行驶到点，乙车行驶到点，则，则，因为，所以当时，取到最小值，即取到最小值，此时海里；所以甲、乙两车的最近距离为；（2）由（1）知，当甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为，当且
16、仅当，即时，最大.【点睛】本题主要考查函数模型的应用，以及由基本不等式求最值，熟记二次函数性质，以及基本不等式即可，属于常考题型.20.如图，在四棱柱中，侧棱底面，（1）求二面角的正弦值；（2）点是线段的中点，点为线段上点，若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面的法向量，平面的法向量，根据公式得到两个法向量之间的夹角余弦，再求出二面角的正弦值；（2）设，得到，根据公式，表示出与之间的夹角余弦，即直线和平面所成角的正弦值，从而得到关于的方程，求出的值，得到线段的长.【详解】（1）证明：如图，以为坐标原
17、点，以、所在直线分别为、轴建系，则，又因为分别为的中点，所以.，设是平面的法向量，由，得，取，得，设是平面的法向量，由，得，取，得.，设二面角的平面角为，所以，所以二面角的正弦值为.（2）由题意可设，其中，又因为是平面的一个法向量，所以，设直线和平面所成角为，整理，得，所以，解得或（舍）.所以线段的长为.【点睛】本题考查利用空间向量求二面角，根据直线与平面所成的角求线段长，属于中档题.21.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，焦距为6.（1）求椭圆的方程.（2）过椭圆左顶点的两条斜率之积为的直线分别与椭圆交于点.试问直线是否过某定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.【答案】（1）；
18、（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到解得，再由a,b,c的关系得到结果；（2）设出直线AM，联立直线和椭圆，表示出点M的坐标，设直线的斜率为，则，即，把点坐标中的替换为，得到点N的坐标，利用两点坐标表示出直线MN即可得到直线过定点.【详解】（1）由题意知解得.又，椭圆方程为.（2）设左顶点，根据已知得直线的斜率存在且不为零，设，代入椭圆方程，得，设，则，即，即.设直线的斜率为，则，即，把点坐标中的替换为，得.当的横坐标不相等，即时，直线的方程为，即，该直线恒过定点.当时，、的横坐标为零，直线也过定点.综上可知，直线过定点.【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，
19、计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.22.已知数列中，是数列的前项和，且（1）求，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若对任意的正整数都成立，求实数的取值范围【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）令，得到，当时，所以得到，整理得到，从而得到的通项公式，从而得到的通项；（2）根据（1）得到的通项，然后得到其前项的和，计算，得到在上单调递增，从而得到，得到的取值范围.【详解】解：（1）在中，则，即，得，由得：当时，化简得，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等差数列，所以.又因为，所以，所以，.当时，对也成立，所以数列的通项公式为.（2）因为，所以.因为，所以在上单调递增，所以的最小值为.因为对任意的正整数都成立，所以，即.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查由和的关系求数列通项，数列求和，数列的单调性求数列中的最小项，数列不等式恒成立问题，属于中档题.