1、玉林高中南校区2020级高一（下）数学期末模拟题（3）时间：120分钟 总分：150分一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 已知等比数列中,则公比为( )A. B. C. D. 2. 直线,则直线的倾斜角为( )A. B. C. D. 3. 在中,若,则角( )A. B. C. D. 4. 的斜二测直观图如图所示,则原的面积为( )A. B. C. D. 5. 设等比数列的前项和为,若,则( )A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是( )A. , B. C. D. 7. 圆上的点到直线的最短距离为( )A. B. C. D. 8. 在中,角,所对的边分别为,且,成等差数列,
2、成等比数列,则的形状为( )A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形9. 已知某四棱锥的三视图如图所示,正视图和侧视图是全等的等腰直角三角形,则该四棱锥的最长棱与底面所成角的正切值为( )A. B. C. D. 10. 已知平面,和直线,下列命题中错误的是( )A. 若,则 B. 若,则存在,使得C. 若,则D. 若,则11. 过圆外一点作圆的两条切线,切点分别为,.若为等边三角形,则过点的直线被点轨迹所截得的最短弦长为( )A. B. C. D. 12. 已知锐角、满足,则的最小值为( )A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.
3、 已知,点在轴上且到,两点的距离相等,则点的坐标为_.14. 若正数满足，求的取值范围_.15. 已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东方向航行，船沿正北方向航行若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东处，则此时，两船相距_16. 已知球面上有四个点,球心为,点在上,若三棱锥的体积的最大值为,则球的表面积为_.三、解答题（17题10分，其余每小题12分，共6小题70分）17. 已知在中,点,的坐标分别为,的中点在轴上.的中点在轴上. (1)求点的坐标; (2)求直线的方程.18. 某企业生产甲、乙两种产品均需用,两种原料,已知生产吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产吨甲、
4、乙产品可获利润分别为万元、万元,则该企业每天可获得最大利润为多少? 19. 已知两圆，求： （1）它们的公共弦所在直线的方程； （2）公共弦长.20. 在中,角的对边分别为,且满足. (1)求角的大小; (2)若为上一点,且满足,求.21. 是正三角形,线段和都垂直于平面.设,且为的中点,如图. (1)求证:平面; (2)求证:; (3)求平面与平面所成锐二面角的大小 22. 已知:在数列中,. (1)令,求证:数列是等差数列; (2)若为数列的前项的和,对任意恒成立,求实数的最小值.玉林高中南校区2020级高一（下）数学期末模拟题（3）答案和解析第1题： D解：若,那么, 可得,解得或. 第
5、2题： C解：, 故直线的倾斜角是. 第3题： B解：由,可得,所以,又,所以,故选:B. 第4题： D解：由题意可得,所以由,即,故选:D. 第5题： C解：设等比数列的公比为,则,. 第6题： D解：对于选项A;由于不等式没有减法法则,所以选项A是错误的;对于选项B,如果是一个负数,则不等式要改变方向,所以选项B是错误的;对于选项C,如果是一个负数,则不等式要改变方向,所以选项C是错误的;对于选项D,由于此处的,所以不等式两边同时除以,不等式的方向不改变,所以选项D是正确的. 第7题： C解：依题意可知圆心为,半径为, 圆心到直线的距离为,所以直线与圆相离,根据圆的几何性质可知,圆上点到直
6、线的最短距离为.故选:C.第8题： C解：因为,成等差数列,所以,即, 因为,成等比数列,所以, 由正弦定理得, 所以,化简得,即, 所以,代入得, 所以为等边三角形. 第9题： C解：由三视图可得:该几何体是正方体中的一个四棱锥,如下图中的四棱锥,设正方体的边长为,该四棱锥中最长的棱为,它与底面所成角为,又,所以.故选:C.第10题： D解：对A:因为,故,A选项正确;对B:若,则存在平行于两平面的交线且,使得,选项正确; 对C:根据题意,作图如下:因为,故在平面内存在直线垂直于的交线,使得; 同理在平面内存在垂直于交线的直线,使得, 故可得/,又直线,故可得/, 又平面,由线面平行性质可得
7、:/,又,则.即证.故C选项正确;对D:若,则与的关系是任意的,故D选项错误. 第11题： B解：由题意知,连接,因为为等边三角形,所以,所以,所以点轨迹的方程为,因为,所以点在圆的内部.连接,结合图形可知,当与垂直时,被圆所截得的弦长最短,最短弦长为. 第12题： B解：因为,所以,所以因为为锐角,所以,所以, 当且仅当时取等号.第13题：解：设点的坐标为,因为,所以,解得,故点的坐标为.第14题：解：为正数，又， 即，解得或（舍去）， ，即的取值范围是. 第15题：解：如图：由题意知，由正弦定理得：.第16题：解：设球的半径为,由题意,知为球的直径,的最大面积为,连接,三棱锥的体积最大时,
8、平面,三棱锥的高为, 由三棱锥体积的最大值为,得,解得, 故球的表面积为.第17题：解：(1)设点,的中点在轴上,的中点在轴上,由中点坐标公式得,解得,点的坐标为. (2)由(1)知,的坐标分别为,由直线的截距式方程,得直线的方程是,即. 第18题：解：设每天生产甲乙两种产品分别为,吨,利润为元,则,目标函数为. 作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域,由得, 平移直线,由图象可知当直线,经过点时,直线的截距最大, 此时最大,解方程组,解得:,即的坐标为,则每天生产甲乙两种产品分别为,吨,能够产生最大的利润,最大的利润是万元. 第19题： （1）；， 得：为公共弦所在直线的方
9、程.（2） 由得，圆心为，半径为， 圆心到公共弦的距离为故弦长的一半为，公共弦长为. 第20题： 解：(1)由正弦定理,可得:,即,由,可得. 由为的内角,所以.(2)由, 可得. 将上式平方可得:.解得.由余弦定理可得.所以. 第21题： 解：(1)证明:如图所示,取的中点,连接,. , 且. 又且, 且. 四边形为平行四边形, 故. 平面,平面, 平面. (2) 证明:平面, . 又是正三角形, . 平面. . 又, . 又,为中点, .又, 平面. AFBD. (3) 延长交延长线于,连接.由,知为中点,.由平面,平面. 为所求二面角的平面角. 在等腰直角三角形中,易求. 第22题： .解：(1)由得:, 可得:,即,又, 数列是首项为,公差为的等差数列. (2)由(1)得:, , .又, ,整理得:,因为对任意恒成立,所以对任意恒成立,即对任意恒成立,设,则, 当,即时, , 的最小值为.