1、山西省大同市第一中学2019-2020学年高一数学下学期3月第二次月考试题（含解析）一、选择题（本题包括12个小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项符合题意）1.下列函数中与函数y=x相等的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数的定义域为 ，而函数的定义域为 故函数与函数不相等；函数 ，故函数与函数不相等；函数的定义域为，而函数的定义域为 故函数与函数不相等；函数的定义域为，且,故函数 与函数相等.选D2. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A. B. C. D. 【答案】A【解
2、析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A3.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】因为，所以，且，所以，所以,故选D.4.函数定义域是，则其值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由函数的解析式可知，函数在和上单调递减.当时，当时考点：利用单调性求函数的值域【名师点睛】本题考查利用函数的的性质求函数的值域，属容易题.解题时首先考虑函数的定义域和单调性，利用单调性求值域5.已知，则等于（ ）A. B. C. D. 7【答案】A【解析】【分析】只需求出的值，代入计算即可.【详解】
3、由已知，又，所以，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值问题，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.6.已知函数，则下列结论不正确的是（ ）A. 是的一个周期B. C. 的值域为RD. 的图象关于点对称【答案】B【解析】【分析】利用正切函数的图像和性质对每一个选项逐一分析得解.【详解】A的最小正周期为，所以是的一个周期，所以该选项正确；B. 所以该选项是错误的；C. 的值域为R，所以该选项是正确的；D. 的图象关于点对称,所以该选项是正确的.故选B【点睛】本题主要考查正切函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.7.在中，若，则一定为（ ）A. 等边三角形B.
4、 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形【答案】D【解析】在中，为的内角，为钝角三角形，故选【方法点睛】本题主要考查两角和的余弦公式、判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.8.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，利用两角和的正弦公式以及特殊角的三角函数，化简即可.【详解】故选C【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通
5、过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向9.若，且，则的值等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，.考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系10.下列函数是偶函数，且在上单调递增是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及函数单调性，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，对于函数，此函数为偶函数，且在区间上单调递减，所以A选项错误；B选项，对于函数，此函数为偶函数，且当时，故函
6、数在区间上不单调，所以B选项错误；C选项，对于函数，该函数为偶函数，且函数在区间上单调递减，所以C选项错误；对于函数，定义域为R，且，故该函数为偶函数，且当时，由正弦函数的单调性，可知函数在区间上单调递增，合乎题意，所以D选项正确.故选D【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性，熟记函数基本性质以及三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.11.将函数的图像向左平移个单位，得到的图像，且，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由题中条件得到，确定的最大值与最小值，根据得，或，求出，从而求出结果.【详解】由题意得，所以，又，所以，或，所以由得，即；由得，即因为，所故选
7、C【点睛】本题主要考查三角函数的应用，熟记正弦函数的最值对应的横坐标即可，属于常考题型.12.已知函数是上的偶函数，且在区间是单调递增的，是锐角的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由题意在上单调递减，在锐角三角形中，即，因此，因此，类似地只有C正确故选C考点：函数的奇偶性与单调性二、填空题（每小题5分，共20分）13.若，且是第四象限角，则_【答案】【解析】试题分析：且是第四象限角，根据诱导公式考点：（1）同角三角函数的基本关系（2）诱导公式14.下图是函数的图像的一部分，则_【答案】【解析】【分析】根据函数图像确定周期，求出，再由最
8、大值与最小值求出，再由时，函数取最大值，求出，从而可得出结果.【详解】，又，当时，故答案为【点睛】本题主要考查由三角函数的部分图像求解析式的问题，熟记正弦型三角函数的图像与性质即可，属于常考题型.15.设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为_.【答案】.【解析】【分析】画出函数，在上的图象，如图所示.观察图象可知，线段的长即为满足时对应的的值，再求出的值即得解.【详解】画出函数，在上的图象，如图所示.观察图象可知，线段的长即为满足时对应的的值，所以，所以因为，则，所以，故线段的长为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数的
9、图象和性质，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.给出下列四个命题：函数的图像的一条对称轴是直线；函数的图像关于点对称；正弦函数在上为增函数；若，则，其中其中为真命题的是_（填写所有真命题的序号）【答案】【解析】【分析】根据三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】当时，为真命题；当时，无意义，点为图像的对称中心，为真命题；当时，的图像为“波浪形”曲线，故为假命题；若，则或，或，故为假命题故答案为【点睛】本题主要考查三角函数性质的应用，熟记三角函数的图像与性质，即可得出结果.三、解答题（共70分）17.已知，求下列各式的值.（1）；（2）【答案】（1）；（2
10、）.【解析】【分析】根据已知条件求得与的关系.（1）由上述求得与的关系化简所求表达式，求得表达式的值.（2）由上述求得与的关系化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】由得，即，也即.（1）由于，所以.（2）由于，所以.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.18.已知函数.（1）求函数的单调减区间；（2）求函数的最大值，并求取得最大值时的x的取值集合.【答案】（1）（）；（2）最大值是2，取得最大值时的𝑥的取值集合是.【解析】【分析】（1）利用两角差的余弦公式及辅助角公式可得，再由（），解不等式即可；（2）令（），即可解决.【详解】（1） 令（），解得（），
11、所以单调递减区间为（）.（2）取最大值2时，（），解得（）.所以的最大值是2，取得最大值时的𝑥的取值集合是.【点睛】本题考查三角恒等变换以及正弦型函数的性质，涉及到单调性与最值，是一道基础题.19. 有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛, 由550名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:组别ABCDE人数5010020015050（） 为了调查大众评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别ABCDE人数5010020015050抽取人数6（） 在（
12、）中, 若A, C两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：本题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，在分层抽样中，利用样本容量总容量，计算表中的值；第二问，先求出每组中支持1号歌手的概率，最后将两个概率值乘在一起即可.试题解析：（） 组别ABCDE人数5010020015050抽取人数361293（） A组抽取的3人中有2人支持1号歌手,则从3人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为.C组抽取的12人中有2人支持
13、1号歌手,则从12人中任选2人,支持支持1号歌手的概率为.现从抽样评委A组3人,C组12人中各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率. 从A,C两组抽样评委中,各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率为.考点：本题主要考查：1.分层抽样；2.古典概型.20.设函数的最小正周期为.且.（1）求和的值；（2）在给定坐标系中作出函数在上的图象；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）,（2）见解析（3）【解析】【试题分析】（1）借助周期公式，再借助题设条件，求出；（2）运用五点法列表进行绘图分别选取时求出对应的x的值并求出对应的函数值再进行描点画图；（3）借助余弦曲线将不等式化为，进而解得，即所求
14、的范围是.解：（1）周期，且，.（2）知，则列表如下：0010-10图象如图：（3），解得，的范围是.21.已知函数（，）的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值； （2）若（），求值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由可得，又的图象关于直线对称，可得，即可算出；（2），利用平方和及的范围计算即可得到答案.【详解】解：（1）因为的图象上相邻两个最高点距离为，所以的最小正周期，从而.又的图象关于直线对称，所以，即，.由得.（2）由（1）得，所以.由得， 所以.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求解析式以及给值求值的问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.22.已知函数是奇函数，且（1）求a，b，c的值；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）解关于的不等式：【答案】增函数【解析】【详解】（1）为奇函数，即得解得又解得当时与矛盾舍，当时综上函数在上为增函数任取则得证函数在上为增函数，函数在上为增函数解得考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明