1、高三数学高高三一轮复习学案自助学习 增强感悟 自我发展 不断提高第2课导数的应用参数范围例1 已知函数(1) 若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间；(2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围.解: (1) 定义域为,直线的斜率为,.所以 由; 由所以函数的单调增区间为,减区间为.(2) ，且对时，恒成立,即.设.当时, ,当时, ,.所以当时,函数在上取到最大值,且所以,所以所以实数的取值范围为.（法二）讨论法，在上是减函数，在上是增函数.当时，解得，.当时，解得，.综上.变式1 已知函数,（其中R,为自然对数的底数）.(1)当时,求曲线在处的切线方程；(2)当1时,若关于的不等式0恒成
2、立,求实数的取值范围.解：（1）当时，,切线方程为（2）方法一1,12)(2-=axxexfxa0xxex122-, 设xxexgx12)(2-=,则2212)1()(xxexxgx+-=, 设,则, 在上为增函数,在上为增函数,方法二,设, 0,0,在上为增函数,.又0恒成立,0,在上为增函数, 此时0恒成立,变式2条件改x0时，0恒成立.解：先证明在上是增函数，再由洛比达法则，1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上，分两种情况讨论可得1）例2.（15年山东理科）设函数，其中.（）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（）若，成立，求的取值范围.解：（），定义域为，设，当时，函数在为增函
3、数，无极值点.当时，若时，函数在为增函数，无极值点.若时，设的两个不相等的实数根，且，且，而，则，所以当单调递增；当单调递减；当单调递增.因此此时函数有两个极值点；当时，但，所以当单调递増；当单调递减.所以函数只有一个极值点。 综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点.（）由（）可知当时在单调递增，而，则当时，符合题意；当时，在单调递增，而，则当时，符合题意；当时，所以函数在单调递减，而，则当时，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，于是，当时，此时，不符合题意.综上所述，的取值范围是.另解：（），定义域为，当时，函数在为增函数，无极值点.设，当时，根据二次函
4、数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数.若，即时，函数在为增函数，无极值点.若，即或，而当时此时方程在只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；当时方程在都有两个不相等的实数根，此时函数有两个极值点；综上可知当时的极值点个数为0；当时的极值点个数为1；当时，的极值点个数为2.（）设函数，都有成立.即当时，恒成立；当时，；当时，；由均有成立。故当时，则只需；当时，则需，即.综上可知对于，都有成立，只需即可，故所求的取值范围是.另解：设函数，要使，都有成立，只需函数函数在上单调递增即可，于是只需，成立，当时，令，则；当时；当，令，关于单调递增，则，则,于是.又当时，所以函数在单调递减，而，
5、则当时，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，于是，当时，此时，不符合题意.综上所述，的取值范围是. 评析：求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求.例3已知函数（）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；（）求的单调区间；（）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围试题解析：（1）求导得：又 代入可得； ，解得（）， 当时， 在区间上，；在区间上，故的
6、单调递增区间是，单调递减区间是 当时，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是当时， 故的单调递增区间是 当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是 （）由已知，在上有由已知，由（）可知，当时，在上单调递增，故，所以，解得，故 当时，在上单调递增，在上单调递减，故由可知，所以， 综上所述，变式 (分离常数，双参，较难)已知函数，.（）若函数依次在处取到极值求的取值范围；若，求的值（）若存在实数，使对任意的，不等式 恒成立求正整数的最大值解：（1）.（2）不等式 ，即，即.转化为存在实数，使对任意，不等式恒成立,即不等式在上恒成立。即不等式在上恒成立。设，则。设，则，因为，有。故在区间上是减函数。又故存在，使得。当时，有，当时，有。从而在区间上递增，在区间上递减。又所以当时，恒有；当时，恒有；故使命题成立的正整数的最大值为5.