1、单元质检八立体几何(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共5小题,每小题7分,共35分)1.若平面平面,且平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b,则()A.直线a必垂直于平面B.直线b必垂直于平面C.直线a不一定垂直于平面D.过a的平面与过b的平面垂直答案:C解析:,a,b,ab,当=a时,b;当=b时,a,其他情形则未必有b或a,所以选项A,B,D都错误,故选C.2.(2019云南曲靖沾益四中高三三模)如图,一个透明的球形装饰品内放置了两个共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,已知圆锥底面面积是这个球面面积的316,则较大圆锥与较小圆锥的体积之比为(
2、)A.21B.31C.41D.51答案:B解析:不妨设球的半径为4,则球的表面积为64,圆锥的底面积为12,所以圆锥的底面半径为23.由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离、球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形,由此可以求得球心到圆锥底面的距离是42-(23)2=2,所以圆锥体积较小者的高为4-2=2,同理可得圆锥体积较大者的高为4+2=6.又这两个圆锥的底面相同,所以较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们的高之比,即31,故选B.3.(2020全国,文9)下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+42B.4+42C.6+23D.4+23答案:C解析:由三视图可知,该
3、几何体为三棱锥,是棱长为2的正方体一角,其表面积为31222+122222sin60=6+23.4.我国古代数学名著孙子算经中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺.问:须工几何?”意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为2丈,下底为5.4丈,高为3.8丈,直棱柱的侧棱长为5 550 尺.如果一个秋天工期的单个人可以筑出300立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:一丈等于十尺)()A.24 642B.26 011C.52 022D.78 033答案:B解析:根据棱柱的体积公式,可得城墙
4、所需土方为20+542385550=7803300(立方尺),一个秋天工期所需人数为7803300300=26011,故选B.5.在空间四面体ABCD中,平面ABD平面BCD,且DA平面ABC,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案:B解析:作AEBD,交BD于E,平面ABD平面BCD,交线为BD,AE平面BCD,BC平面BCD,AEBC.而DA平面ABC,BC平面ABC,DABC.又AEAD=A,AD,AE平面ABD,BC平面ABD.而AB平面ABD,BCAB,即ABC为直角三角形.故选B.二、填空题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)6.已知四棱
5、锥P-ABCD的三视图如图所示,则此四棱锥外接球的半径为.答案:5解析:因为三视图对应的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点,底面边长分别为4,2,满足侧面PAD底面ABCD,PAD为等腰直角三角形,且高为2,如图所示,可知外接球球心为底面对角线的交点,可求得球半径为1242+22=5.7.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PCBD,则平行四边形ABCD的形状一定是.答案:菱形解析:因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.又PCBD,且PC平面PAC,PA平面PAC,PCPA=P,所以BD平面PAC.又AC平面PAC,所以BDAC.又四边形ABCD是
6、平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.8.已知A,B,C,D是球面上不共面的四点,AB=AC=3,BD=CD=2,BC=6,平面ABC平面BCD,则此球的体积为.答案:823解析:取BC的中点E,连接DE,AE.由已知知ABC为等腰直角三角形,BCD为等腰三角形,又平面ABC平面BCD,且交线为BC,所以球心O在平面ABC的射影为BC的中点E.如图所示,连接AO,由题意可知OE2+AE2=OA2.设球的半径R=OD=OA=x,由题意,得DE=22,在RtAOE中,x-222+622=x2,解得x=2,则此球的体积为V=43R3=823.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如下的
7、三个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在右面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连接BC,证明BC平面EFG.答案：(1)解如图:(2)解所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=446-1312222=2843(cm3).(3)证明在长方体ABCD-ABCD中,连接AD,则ADBC.因为E,G分别为AA,AD的中点,所以ADEG.从而EGBC.又BC平面EFG,所以BC平面EFG.10.(15分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方
8、形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.答案：(1)证明由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,B1C1EC1=C1,所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EFBB1,垂足为F,则EF平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=13363=18.11.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB
9、1A1底面ABC,ACAB,AC=AB=AA1=2,AA1B1=60,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.(1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;(2)在直线AA1上是否存在一点P,使得CP平面AEF?若存在,求出AP的长;若不存在,说明理由.解：(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=AB.因为AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.又因为AA1B1=60,连接AB1,所以AA1B1是边长为2的正三角形.因为E是棱A1B1的中点,所以AEA1B1,且AE=3.又ABA1B1,所以AEAB.又侧面ABB1A1底面ABC,且侧面ABB1A1底面ABC=AB,又AE侧面ABB1A1,所以AE底面ABC,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V=SABCAE=12ABACAE=12223=23.(2)在直线AA1上存在点P,使得CP平面AEF.理由如下:连接BE并延长,与AA1的延长线相交,交点为P.连接CP.因为A1B1AB,故PEPB=PA1PA=A1EAB.因为E为棱A1B1的中点,AB=A1B1,所以A1EAB=12,所以PE=EB.又F为棱BC的中点,所以EF为BCP的中位线,所以EFCP.又EF平面AEF,CP平面AEF,所以CP平面AEF.故在直线AA1上存在点P,使得CP平面AEF.此时,PA1=AA1=2,所以AP=2AA1=4.
