1、2.1 第二课时 数列的通项公式与递推公式 理解教材新知 突破常考题型 跨越高分障碍 第二章 题型一 题型二 应用落实体验 随堂即时演练 课时达标检测 题型三 知识点 返回 返回 第二课时 数列的通项公式与递推公式 返回 某剧场有 30 排座位，第一排有 20 个座位，从第二排起，后一排都比前一排多 2 个座位(如图)问题 1：写出前五排座位数提出问题数列的递推关系提示：20,22,24,26,28.返回 问题 2：第 n 排与第 n1 排座位数有何关系？提示：第 n1 排比第 n 排多 2 个座位问题 3：第 n 排座位数 an 与第 n1 排座位数 an1 能用等式表示吗？提示：能an1a
2、n2.返回 导入新知如果已知数列an的(或前几项)，且任一项 an与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式第一项前一项an1返回 化解疑难1数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，由递推公式可以依次求出数列的各项2有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化，如数列 1,3,5，2n1，的一个通项公式为 an2n1(nN*)用递推公式表示为 a11，anan12(n2，nN*)返回 数列的表示方法例 1 根据数列an的通项公式，把下列数列用图象表示出来(n5，且 nN*)(1)an(1)n2；(2)ann1n.返回 解(1)数列an的前 5 项依次是 1
3、,3,1,3,1，图象如下图所示(2)数列an的前 5 项依次是 2，32，43，54，65，图象如下图所示返回 类题通法通项公式法、列表法与图象法表示数列优点(1)用通项公式表示数列，简洁明了，便于计算公式法是常用的数学方法(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势返回 活学活用1一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件，沿途(包括 A，B)共有 8 站，从 A 地出发时，装上发往后面 7 站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个试用列表法表示邮车在各站装卸完毕
4、后剩余邮件个数所成的数列返回 解：将 A，B 之间所有站按序号 1,2,3,4,5,6,7,8 编号通过计算，各 站 装 卸 完 毕 后 剩 余 邮 件 个 数 依 次 构 成 数 列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：站号(n)1234567 8剩余邮件数(an)7 1215161512 7 0 返回 由递推公式求数列中的项例 2 已知数列an的第一项 a11，以后的各项由公式an1 2anan2给出，试写出这个数列的前 5 项解 a11，an1 2anan2，a2 2a1a1223，a3 2a2a2222323212，a4 2a3a3221212225，a5 2a4a4222
5、525213.故该数列的前 5 项为 1，23，12，25，13.返回 类题通法根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式返回 活学活用2已知数列an中，a11，a22，以后各项由 anan1an2(n3)给出(1)写出此数列的前 5 项；(2)通过公式 bn anan1构造一个新的数列bn，写出数列bn的前 4 项解：(1)anan1an2(n3)，且 a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325
6、，a5a4a3538.返回 故数列an的前 5 项依次为a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn anan1，且 a11，a22，a33，a45，a58，b1a1a212，b2a2a323，b3a3a435，b4a4a558.故 b112，b223，b335，b458.返回 由递推公式归纳数列的通项公式例 3 已知数列an的第 1 项是 2，以后的各项由公式an an11an1(n2,3,4，)给出，写出这个数列的前 5 项，并归纳出数列an的通项公式解 可依次代入项数进行求值a12，a2 2122，a321223，a42312325，返回 a52512527.即数列an的前 5 项
7、为 2，2，23，25，27.也可写为21，21，23，25，27.即分子都是2，分母依次加 2，且都是奇数，所以 an22n3(nN*)返回 类题通法根据递推公式写出数列的前几项，然后由前几项分析其特点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式返回 活学活用3已知数列an满足 a11，anan11nn1(n2)，写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式解：a11，a2a1 12111232，a3a2 132321653，a4a3 14353 11274，返回 a5a4 15474 12095.故数列的前 5 项分别为 1，32，53，74，95.由于 12111，322212，532313，
8、742414，952515，故数列an的一个通项公式为 an2n1n21n.返回 2.巧析递推数列求通项公式两种常用方法递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接，下面介绍由递推数列求通项公式的两种方法【角度一】累加法对于数列an若满足 an1anf(n)时，需用累加法，即an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 来求 an.返回 例 1 已知 a11，an1an2，求数列an的一个通项公式解 a11，an1an2，a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2)，将这些式子的两边分别相加，(a2a
9、1)(a3a2)(a4a3)(anan1)2(n1)，即 ana12(n1)，又 a11，an2n1(n2)，当n1 时，a11 也满足上式，故数列an的一个通项公式为an2n1.返回【角度二】累乘法对于数列an若满足 anan1f(n)时，需用累乘法，即an anan1an1an2a3a2a2a1a1 来求 an.例 2 已知数列an中，a12，an13an(nN*)，求数列an的通项公式返回 解 由 an13an得an1an 3.因此可得a2a13，a3a23，a4a33，anan13.将上面的 n1 个式子相乘可得a2a1a3a2a4a3 anan13n1.即ana13n1，所以 ana
10、13n1，又 a12，故 an23n1.返回 随堂即时演练1符合递推关系式 an 2an1 的数列是()A1,2,3,4，B1，2，2,2 2，C.2，2，2，2，D0，2，2,2 2，解析：B 中从第二项起，后一项是前一项的 2倍，符合递推公式 an 2an1.答案：B返回 2数列12，14，18，116，的递推公式可以是()Aan 12n1(nN*)Ban 12n(nN*)Can112an(nN*)Dan12an(nN*)答案：C解析：数列从第二项起，后一项是前一项的12，故递推公式为an112an(nN*)返回 3已知 a11，an1 1an1(n2)，则 a5_.解析：由 a11，an
11、1 1an1得 a22，a332，a453，a585.答案：85返回 4已知数列an满足 a10，an1an 13(nN*)，则数列an是_数列(填“递增”或“递减”)解析：由已知 a10，an113an(nN*)，得 an0(nN*)又 an1an13anan23an0，所以an是递减数列答案：递减返回 5已知数列an的通项公式为 annn21，写出它的前 5 项，并判断该数列的单调性解：对于公式 annn21，依次取 n1,2,3,4,5，得到数列的前5 项为 a112，a225，a3 310，a4 417，a5 526.而 an1ann1n121nn211n2nn121n21.因为 nN*，所以 1n2n0，所以 an1an0，即 an1an.故该数列为递减数列“课时达标检测”见“课时跟踪检测(六)”