1、单元质检五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2020全国,理1)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.2D.2答案:D2.在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,F为AE的中点.设AB=a,AD=b,则FB=()A.-34a+12bB.12a+34bC.12a-34bD.34a-12b答案:D3.已知向量a,b的夹角为2,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=()A.23B.3C.21D.41答案:C4.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则BDCD=()A.-32a2B.-3
2、4a2C.34a2D.32a2答案:D5.已知复数z=a+a+i3-i(aR,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-12,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:A解析:由题意,得z=a+a+i3-i=a+(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=13a-110+(a+3)i10,z=13a-110-(a+3)i10.又复数z的共轭复数的虚部为-12,-a+310=-12,解得a=2.z=52+12i,复数z在复平面内对应的点位于第一象限.6.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使APBP有最小值,则点P的坐标是(
3、)A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案:C解析:设点P坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,APBP有最小值1.故点P坐标为(3,0).7.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若为实数,(b+a)c,则的值为()A.-311B.-113C.12D.35答案:A解析:由题意,得b+a=(1,0)+(1,2)=(1+,2).因为c=(3,4),(b+a)c,所以(b+a)c=0,即(1+,2)(3,4)=3+3+8=0,解得=
4、-311,故选A.8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夹角为4.若a-b与b垂直,则实数的值为()A.-12B.12C.-24D.24答案:D解析:因为a-b与b垂直,且ab=12cos4=2,所以(a-b)b=2-4=0,解得=24,故选D.9.在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=2,AP=13AB,AQ=12AD,若CPCQ=12,则ADC=()A.56B.34C.23D.2答案:C解析:因为CP=BP-BC=-23AB-AD,CQ=DQ-DC=-12AD-AB,所以CPCQ=-23AB-AD-12AD-AB=239+4332cosBAD+124=8+8cosB
5、AD=12,所以cosBAD=12,BAD=3,ADC=23.10.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos ,2sin ),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.0,4B.4,512C.512,2D.12,512答案:D解析:由题意,得OA=OC+CA=(2+2cos,2+2sin),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.11.已知|OA|=|OB|=2,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,则|OA-tOB|(tR)的最小值为()A.2B.3C.2D
6、.5答案:B解析:依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,AOB=180-230=120,(OA-tOB)2=4+4t2-2t22cos120=4t2+4t+4=4t+122+3的最小值为3,因此|OA-tOB|的最小值为3.12.已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,且ab=1.若e为平面单位向量,则(a+b)e的最大值为()A.6B.6C.7D.7答案:C解析:设a+b与e的夹角为,则(a+b)e=|a+b|e|cos|a+b|,而|a+b|=|a|2+|b|2+2ab=7,则(a+b)e的最大值为7,故选
7、C.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.复数z=11+i(i为虚数单位),则|z|=.答案:22解析:|z|=1|1+i|=12=22.14.已知两个单位向量a和b的夹角为120,则a+b在b方向上的投影为.答案:12解析:设向量a+b与b的夹角为.因为(a+b)b=ab+b2=12,所以|a+b|cos=(a+b)b|b|=12.15.已知正方形ABCD的边长为1,P为正方形ABCD内一点,则(PA+PB)(PC+PD)的最小值为.答案:-1解析:如图,建立平面直角坐标系.则A(0,1),B(0,0),C(1,0),D(1,1).设P(x,y),则PA=(-x,1-y),
8、PB=(-x,-y),PC=(1-x,-y),PD=(1-x,1-y),(PA+PB)(PC+PD)=(-2x,1-2y)2(1-x),1-2y=(1-2y)2-4(1-x)x=(1-2y)2+(2x-1)2-1,当x=12,y=12时,(PA+PB)(PC+PD)有最小值,且最小值为-1.16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=1-x2上的一个动点,则BPBA的取值范围是.答案:0,2+1解析:如图,画出函数y=1-x2的图象.这是以O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.设BP与BA的夹角为,则0,2.当0,4时,cos4-=|BP|2,当4,2时,cos-4=|BP|2.因为y=cosx,xR是偶函数,所以|BP|=2cos-4,0,2.BPBA=|BP|BA|cos=22cos-4cos=2cos2+2sincos=sin2+cos2+1=2sin2+4+1.因为0,2,所以2+44,54.当2+4=2,即=8时,BPBA取最大值2+1,当2+4=54,即=2时,BPBA取最小值0,所以BPBA的取值范围是0,2+1.