1、33几个三角恒等式1.了解积化和差、和差化积公式2.理解降幂公式3.灵活运用两角和差公式、倍角公式、半角公式进行恒等变换1降幂公式cos2(1cos 2)；sin2(1cos 2)2半角公式S：sin ，C：cos ，T：tan ，tan.3万能代换公式sin ，cos ，tan .利用万能代换公式，可以用tan的有理式统一表示角的任何三角函数值，要注意使用条件1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos .()(2)存在R，使得cos cos .()(3)对于任意R，sin sin 都不成立()(4)若是第一象限角，则tan .()解析：(1)错误只有当2k2k(kZ)，即4k4k(kZ
2、)时，cos .(2)正确当cos 1时，上式成立，但一般情况下不成立(3)错误当2k(kZ)时，上式成立，但一般情况下不成立(4)正确若是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan 成立答案：(1)(2)(3)(4)2若cos ，且(0，)，则cos 的值为()ABCD答案：A3已知cos ，且180270，则tan _解析：因为180270，所以90135，即是第二象限角，所以tan 0.所以tan 2.答案：24sin cos 的值为_解析：sin cos sin sinsin2 .答案： 利用公式化简化简：.【解】原式1.对于三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值(2)使三角函数
3、种数尽量少(3)使三角函数式中的项数尽量少(4)尽量使分母不含有三角函数(5)尽量使被开方数不含三角函数 1.化简cos2(15)sin2(15)sin(180)cos(180)解：原式sin 21cos(230)cos(230)sin 21cos 2cos 30sin 2sin 30(cos 2cos 30sin 2sin 30)sin 21(sin 2sin 30)sin 21.利用公式求值已知为钝角，为锐角，且sin ，sin ，求cos.【解】因为为钝角，为锐角，sin ，sin ，所以cos ，cos .所以cos()cos cos sin sin .又因为，0，所以0，0.所以co
4、s .二倍角余弦公式的实质是等号左边的角是右边的角的两倍，不一定是单角的形式，其变形可得半角公式，注意半角公式根号前面的符号由所在的象限来决定，如果没有给出限定符号的条件，根号前面应保留正负两个符号 2.(1)已知sin，0x，求的值(2)化简sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2.解：(1)原式2sin.因为sincos，且0x，所以x，所以sin.所以原式2.(2)原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2.三角恒等变换的综合应用求函数f(x)的最小正周期、最大值和最小值【解】f(x
5、)(1sin xcos x)sin xcos xsin 2x，所以函数的最小正周期T.当sin 2x1，即2x2k，kZ，亦即xk，kZ时，f(x)max.当sin 2x1，即2x2k，亦即xk，kZ时，f(x)min.应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤3.设函数f(x)cossin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为ABC的三个内角，若cos B，f，求sin A解：(1)f(x)cossin2xcos 2xcossin 2xsinsin 2x.所以函数f(x)的最大值为，最小正周期为.(2)结合(1)知fsin，所以sin.因为C为三角形内角，所以.所以
6、C.所以sin Acos B.1半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的2半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos 的值及相应的条件，sin ，cos ，tan 便可求出3由于tan 及tan 不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件4涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2 ，cos2 .设56，cosa，那么sin等于_【解析】由cos12sin2，得sin2，又56，所以.所以sin0.所以sin.【答案】(1)错因：将正弦的降幂公式错记为余弦的降幂公式，而忽略角的范围的讨论，想当然认为是正
7、值而直接将根式开方得解而致错(2)防范：熟练记忆并能灵活运用三角函数公式是正确解题的前提应用半角公式求值时，要特别注意根据半角的范围去确定半角三角函数值的符号1若sin()且，则sin等于()ABCD解析：选B由题意知sin ，所以cos .因为，所以sincos .故选B2函数y的最小正周期是_解析：由万能公式，得ycos 4x，所以T.答案：3已知tan ，tan ，且，(0，)，则2_.解析：由tan ，tan ，且，(0，)，得，且tan()，故0.又tan ，且(0，)，故0.所以02.又tan(2)tan()1，所以2.答案：学生用书P124(单独成册)A基础达标1已知sin 2，
8、则cos2()ABCD解析：选Dcos2.2若cos 2，且，则sin ()ABCD解析：选A因为，所以sin 0，由半角公式可得sin .3已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为()ABCD解析：选B设等腰三角形的顶角为，底角为，则cos .又，所以cos cossin，故选B4若，则 等于()Acos sin Bcos sin Ccos sin Dcos sin 解析：选B因为，所以sin 0，cos 0，则 |cos |sin |cos (sin )cos sin .5函数f(x)cos2x2cos2(x0，)的最小值为()A1B1CD解析：选D由题意，得f(x)cos2
9、x2cos2cos2x(1cos x)cos2xcos x1，设tcos x(x0，)，yf(x)，则t1，1，yt2t1，所以当t，即x时，y取得最小值，为，所以函数f(x)的最小值为，故选D6函数f(x)sin2sin2x的最小正周期是_解析：f(x)sin 2xcos 2x2sin 2xcos 2xsin.故最小正周期为.答案：7设sin ，tan()，则tan(2)的值等于_解析：因为sin ，所以cos ，tan .因为tan()，所以tan ，tan 2，所以tan(2).答案：8已知sin 2，02，则_解析：.因为sin 2，02，所以cos 2，所以tan ，所以，即.答案：
10、9求值：sin 40(tan 10)解：原式sin 40sin 401.10已知函数f(x)2sin xcos xcos 2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)求f(x)的单调递增区间解：(1)因为f(x)2sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，所以f(x)的最小正周期T.依题意，得，解得1.(2)由第一问知f(x)sin(2x)函数ysin x的单调递增区间为2k，2k(kZ)由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的单调递增区间为k，k(kZ)B能力提升1已知coscos，则sin cos 的值是()ABCD解析：选Ccoscossin
11、cossincos 2.所以cos 2.因为，所以2，所以sin 2，且sin cos 0.所以(sin cos )21sin 21.所以sin cos .2设pcos cos ，qcos2，则p与q的大小关系是_解析：因为pq0，所以pq.答案：pq3已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值解：因为cos cos ，所以2sinsin.因为sin sin ，所以2cossin.，得tan.所以tan.所以sin().4(选做题)点P在直径AB1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT1，PAB，则当为何值时，四边形ABTP的面积最大？解：如图所示因为AB为半圆的直径，所以APB，又AB1，所以PAcos ，PBsin .又PT切半圆于P点，所以TPBPAB，所以S四边形ABTPSPABSTPBPAPBPTPBsin sin cos sin2sin 2(1cos 2)sin.因为0，所以2，所以当2，即时，S四边形ABTP取得最大值.