1、单元质检二函数(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=2x-4,x0,2x,x0,则f(f(1)=()A.2B.0C.-4D.-6答案:C解析:函数f(x)=2x-4(x0),2x(x0),则f(f(1)=f(2-4)=f(-2)=-4.故选C.2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)内单调递增的是()A.y=-1xB.y=-x2C.y=e-x+exD.y=|x+1|答案:C解析:选项A中函数是奇函数,不合题意;选项B中函数在区间(0,+)内单调递减,不合题意;选项D中函数为非奇非偶函数,不合题意.故选C.3.若函数f(x
2、)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0上f(x)是减函数.若f(2)=0,则使得f(x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(-2,2)C.(-,-2)(2,+)D.(2,+)答案:B解析:由题意知f(-2)=f(2)=0,当x(-2,0时,f(x)f(-2)=0.由对称性知,当x0,2)时,f(x)为增函数,f(x)f(2)=0,故x(-2,2)时,f(x)0,故选B.4.设a=log32,b=ln 2,c=5-12,则()A.abcB.bcaC.cabD.cblog2e1,所以a2=log24log23,所以ca.综上ca0,2x,x0,若f(a)=12,则实数a的值为()A.-1B
3、.2C.-1或2D.1或-2答案:C解析:由题意得log2a=12,a0或2a=12,a0,故a=2或a=-1.故选C.6.已知函数f(x)=12x-sin x,则f(x)在区间0,2上的零点个数为()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:函数f(x)=12x-sinx在区间0,2上的零点个数为函数y=12x的图象与函数y=sinx的图象在区间0,2上的交点个数,在同一平面直角坐标系内画出两个函数的部分图象如图所示,由图象可知,两个函数的图象在区间0,2上有两个不同的交点,故选B.7.已知函数f(x)=a-2ex+1(aR)是奇函数,则函数f(x)的值域为()A.(-1,1)B.(-2,2)C
4、.(-3,3)D.(-4,4)答案:A解析:由f(x)是奇函数,可知f(-x)=-f(x),所以a-2e-x+1=-a+2ex+1,所以2a=2ex+1+2e-x+1,所以a=1ex+1+exex+1=1,所以f(x)=1-2ex+1.因为ex+11,所以01ex+11,所以-11-2ex+10,且a1)的值域为y|00,且a1)的值域为y|0y1,0a0时,函数y=loga|x|=logax,为减函数,当x0.由当x=10时,两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=45,故y1+y2=20x+45x220x45x=8,当且仅当20x=45x,即x=5时取等号,故选A.1
5、2.设minm,n表示m,n二者中较小的一个,已知函数f(x)=x2+8x+14,g(x)=min12x-2,log24x(x0).若x1-5,a(a-4),x2(0,+),使得f(x1)=g(x2)成立,则a的最大值为()A.-4B.-3C.-2D.0答案:C解析:由题意得g(x)=log24x,0x0的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.答案:(2,+)解析:作出函数f(x)=2-13x(x0)12x2+1(x0)的图象,如图所示.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线,当斜率m0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m0时,直线y=mx始终与函数y=2-
6、13x(x0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=12x2+1(x0)的图象有两个公共点,即方程mx=12x2+1在x0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式=4m2-420,且2m0,解得m2.故所求实数m的取值范围是(2,+).三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数f(x)=m+logax(a0,且a1)的图象过点(8,2)和(1,-1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.解：(1)由f(8)=2,f(1
7、)=-1,得m+loga8=2,m+loga1=-1,解得m=-1,a=2,故函数f(x)的解析式为f(x)=-1+log2x.(2)g(x)=2f(x)-f(x-1)=2(-1+log2x)-1+log2(x-1)=log2x2x-1-1(x1).因为x2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1x-1=(x-1)+1x-1+22(x-1)1x-1+2=4,当且仅当x-1=1x-1,即x=2时,等号成立,函数y=log2x在区间(0,+)内单调递增,所以log2x2x-1-1log24-1=1,故当x=2时,函数g(x)取得最小值1.18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0
8、)在区间2,3上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x.(1)求a,b的值;(2)若当x-1,1时,不等式f(2x)-k2x0有解,求实数k的取值范围.解：(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.因为a0,所以g(x)在区间2,3上是增函数,故g(2)=1,g(3)=4,解得a=1,b=0.(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,所以f(2x)-k2x0可化为2x+12x-2k2x,可化为1+12x2-212xk.令t=12x,则kt2-2t+1.因为x-1,1,所以t12,2.记h(t)=t2-2t+1,t12,2,因为t12,2,所以h(t)max=1.所以k1,即实数k的取值范
9、围是(-,1.19.(12分)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两个城市共投资240万元,根据行业规定,每个城市至少要投资80万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=42a-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=14a+2,80a120,32,120a160.设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).(1)当投资甲城市128万元时,求此时公司的总收益;(2)试问:如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使公司总收益最大?解：(1)若投资甲城市128万元,则投资乙城市112万元,
10、所以f(128)=42128-6+14112+2=88.故此时公司的总收益为88万元.(2)由题意知,若投资甲城市x万元,则投资乙城市(240-x)万元,依题意得x80,240-x80,解得80x160,当80x120,即120240-x160时,f(x)=42x-6+32=42x+260,故f(x)的最大值为88.故当投资甲城市128万元,投资乙城市112万元时,才能使公司总收益最大,且最大总收益为88万元.20.(12分)已知二次函数y=f(x)在x=t+22处取得最小值-t24(t0),且f(1)=0.(1)求y=f(x)的解析式;(2)若函数y=f(x)在区间-1,12上的最小值为-5
11、,求此时t的值.解：(1)设f(x)=ax-t+222-t24(a0).因为f(1)=0,所以(a-1)t24=0.又因为t0,所以a=1,所以f(x)=x-t+222-t24(t0).(2)因为f(x)=x-t+222-t24(t0),所以当t+22-1,即t12,即t-1时,f(x)在区间-1,12上的最小值f(x)min=f12=12-t+222-t24=-5,所以t=-212(舍去).综上,得t=-92.21.(12分)已知函数f(x)=loga(ax-1)(a0,且a1).(1)当a=12时,求函数f(x)的定义域.(2)当a1时,求关于x的不等式f(x)m对任意实数x1,3恒成立,
12、求实数m的取值范围.解：(1)当a=12时,f(x)=log1212x-1,故12x-10,解得x1),定义域为(0,+),易知f(x)在区间(0,+)内为增函数,由f(x)0,xm对任意实数x1,3恒成立,故m0时,f(x)0,且f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)在区间-3,3上的最大值;(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)f(ax)+4.解：(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意xR恒成立,故函数f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2(-,+),且x
13、10.f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)0,f(x2)f(x2).f(x)在区间(-,+)内是减函数.对任意x-3,3,恒有f(x)f(-3).f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-23=-6,f(-3)=-f(3)=6,f(x)在区间-3,3上的最大值为6.(3)f(x)为奇函数,整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)f(ax)+f(-2).f(ax2-2x)ax-2,即(ax-2)(x-1)0.当a=0时,x(-,1);当a=2时,xxR|x1;当a0时,xx2ax1;当0a2a或x2时,xxx1.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为(-,1);当a=2时,原不等式的解集为xR|x1;当a0时,原不等式的解集为x2ax1;当0a2a或x2时,原不等式的解集为xx1.