1、31.2两角和与差的正弦1.了解两角和与差的正弦公式的推导2.理解运用两角和与差的正弦公式的意义及结构特征3掌握运用两角和与差的正弦公式进行化简、求值与证明1两角和与差的正弦公式名称公式简记符号条件两角和的正弦sin()sin cos cos sin S()，R两角差的正弦sin()sin cos cos sin S()2.两角和与差的正弦公式与余弦公式的区别与联系(1)余弦公式右边函数名的排列顺序为：余余正正，左右两边加减运算符号相反(2)正弦公式右边函数名的排列顺序为：正余余正，左右两边加减运算符号相同(3)S() C()(4)S()S()3辅助角公式asin xbcos xsin(x)，
2、其中tan .1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立()(3)对于任意，R，sin()sin sin 都不成立()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()解析：(1)正确根据公式的推导过程可得(2)正确当45，0时，sin()sin sin .(3)错误当30，30时，sin()sin sin 成立(4)正确因为sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正确答案：(1)(2
3、)(3)(4)2设，若sin ，则2sin等于()ABCD答案：A3sin 15cos 15sin 75sin 15的值为_解析：逆用两角差的正弦公式可得sin 15cos 15cos 15sin 15sin(1515)0.答案：04sin 15cos 15_解析：sin 15cos 15sin(4530)cos(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30cos 45cos 30sin 45sin 30.答案：公式的运用已知cos ，当(1)；(2)时，分别求sin.【解】(1)因为cos ，所以sin ，sinsincos cossin .(2)因为cos ，所以sin ，s
4、insincos cossin .在cos 已知的前提下，sin 要根据的取值范围才能唯一确定如果的范围不能确定，则一定要分情况讨论 1.求下列各式的值(1)sin 105(2)sin 165(3).解：(1)sin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60.(2)sin 165sin(18015)sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30.(3)sin 30.给值求值问题已知sin()cos cos()sin ，是第三象限角，求sin的值【解】因为sin()cos cos()sin ，所以sin()cos cos()sin
5、.即sin ().所以sin()，所以sin .又因为为第三象限角，所以cos .所以sinsinsinsin coscos sin.解给值求值问题的关键点解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方法. 2.已知，且cos()，sin ，求sin .解：因为，所以(0，)因为cos()，所以sin().因为，sin ，所以cos .所以sin
6、sin()sin()cos cos()sin .给值求角问题已知cos ，sin()，0，0，求角的值【解】因为0，cos ，所以sin .又因为0，所以0.因为sin()sin ，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin .又因为0，所以.若把本例中的“0”改为“”，求角的值解：因为0，cos ，所以sin .又因为，所以.因为sin()，所以cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin .又因为，所以.解决给值求角问题的关键、思路及步骤(1)解答此类问题的关键是找出已知角和所求角之间的联系，解答此类问题最容易出错的地方是求角的范围(2
7、)此类问题的解题思路是找出已知角与未知角的联系(3)此类问题的解题步骤：讨论角的范围；求出指定范围内的三角函数值；根据已知角与未知角的关系拆分角，进一步利用公式求解 3.已知sin，sin，其中，求角的值解：因为，所以0.因为，所以.由已知可得cos，cos，则cos()coscoscossinsin.因为，所以.1公式sin()sin cos cos sin 的推导及记忆(1)推导：运用差角的余弦公式C()和诱导公式，考虑到sin()cos，且cossin ，sincos ，于是，sin()coscoscoscos sinsin sin cos cos sin .(2)记忆：对于公式S()，
8、S()可记为“正余余正，符号相同”2两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系在ABC中，sin A，cos B，求cos C的值【解】因为cos B，所以B为锐角，所以sin B.因为sin A，0A，所以当A为锐角时，cos A，cos Ccos (AB)cos(AB)sin Asin Bcos Acos B.当A为钝角时，cos A，cos Ccos(AB)sin Asin Bcos Acos B.此时sin(AB)sin Acos Bcos Asin B0，这与0AB矛盾，故此种情况不成立综上，cos C.(1)常见错误：没有结合题中隐含的角的范围，判断出A为钝角时不成立(2)在三角形中，一
9、定要重视角的取值范围和题目中隐含的信息本题中，已知sin A，cos B，在求出cos A，sin B后，要想到用sin(AB)或A，B的范围进行验证和选择1sin 20cos 10cos 160sin 10()ABCD解析：选Dsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30，故选D2.的值为_解析：原式2sin 301.答案：13函数ysin xcos x的最大值为_解析：ysin xcos x(sin xcos x)222sin，所以y的最大值为2.答案：2学生用书P121(单独成册)A基础达标1cos 24
10、cos 36cos 66cos 54的值等于()A0BCD解析：选B因为cos 24cos 36cos 66cos 54cos 24cos 36sin 24sin 36cos(2436)cos 60.故选B2若cos ，是第三象限角，则sin()ABCD解析：选A因为cos ，是第三象限角，所以sin ，由两角和的正弦公式可得sinsin cos cos sin .3已知cos(为锐角)，则sin ()ABCD解析：选D因为，所以.所以sin.所以sin sinsincoscossin.4在ABC中，cos A，cos B，则ABC的形状是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等边三角形解
11、析：选B由题意得sin A，sin B，所以cos Ccos(AB)cos(AB)cos A cos Bsin Asin B0，所以C是钝角，故ABC是钝角三角形5函数f(x)sin 2xcos 2x的最小正周期是_解析：f(x)sin 2xcos 2x22sin.所以最小正周期T.答案：6已知sin()cos cos()sin ，是第三象限角，则sin_解析：因为sin()cos cos()sin sin()cos cos()sin sin()sin()sin .所以sin ，又是第三象限角，所以cos ，所以sinsin cos cos sin .答案：7函数ysinsin的最小值为_解析
12、：ysinsinsin 2xcoscos 2xsinsin 2xcoscos 2xsinsin 2x，所以y的最小值为.答案：8已知sin ，cos ，求sin()、sin()的值解：由sin ，得cos .又由cos ，得sin .所以sin()sin cos cos sin .sin()sin cos cos sin .9已知，且cos，求cos ，sin 的值解：因为，所以0.因为cos，所以sin .所以sin sinsincoscossin，cos coscoscossinsin.B能力提升1形如的式子叫作行列式，其运算法则为adbc，若行列式，则x_解析：因为adbc，sin xc
13、oscos xsinsin，所以x2k或x2k，kZ，所以x2k或x(2k1)，kZ.答案：2k，kZ或(2k1)，kZ2求函数f(x)sin(x20)sin(x80)的最值解：f(x)sin(x20)sin (x20)60sin(x20)sin(x20)cos 60cos(x20)sin 60sin(x20)cos(x20)sin(x50)所以当sin(x50)1时，f(x)max，当sin(x50)1时，f(x)min.3(选做题)已知函数f(x)Asin，xR，且f.(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.解：(1)由fAsinAsin ，可得A3.(2)f()f()，则3sin3sin，33，sin .因为，所以cos ，f3sin3sin3cos .