1、章末分层突破自我校对球斜二测画法公理3平行相交0，900，180_空间几何体的体积及表面积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题如图11，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点图11(1)证明MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积【精彩点拨】(1)利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；(
2、2)先求出点N到平面BCM的距离及BCM的面积，然后代入锥体的体积公式求解【规范解答】(1)证明：由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.如图，取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.再练一题1如图12，三棱锥ABCD中，AB平面B
3、CD，CDBD.图12(1)求证：CD平面ABD；(2)若ABBDCD1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积【解】(1)证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD.又CDBD，ABBDB，AB平面ABD，BD平面ABD，CD平面ABD.(2)法一：由AB平面BCD，得ABBD.ABBD1，SABD.M是AD的中点，SABMSABD.由(1)知，CD平面ABD，三棱锥CABM的高hCD1，因此三棱锥AMBC的体积VAMBCVCABMSABMh.(2)法二：由AB平面BCD知，平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCDBD，如图，过点M作MNBD交BD于点N，则MN平面BCD，且MNAB，
4、又CDBD，BDCD1，SBCD，三棱锥AMBC的体积VAMBCVABCDVMBCDABSBCDMNSBCD.直线、平面平行的判定和性质1.判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，a)2证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面
5、平行”“面面平行”的相互转化如图13，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，图13求证：(1)GE平面BDD1B1；(2)平面BDF平面B1D1H.【精彩点拨】(1)取B1D1的中点O，证明四边形BEGO是平行四边形(2)证B1D1平面BDF，HD1平面BDF.【规范解答】(1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，易证OG綊B1C1，BE綊B1C1，OG綊BE，四边形BEGO为平行四边形，OBGE.OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，GE平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1BD，B1D1平面BDF，BD平面BDF，B1D1
6、平面BDF.连结HB，D1F，易证HBFD1 是平行四边形，得HD1BF.HD1平面BDF，BF平面BDF，HD1平面BDF.B1D1HD1D1，平面BDF平面B1D1H.再练一题2.如图14，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1，设AB1的中点为D，B1CBC1E.图14求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1
7、.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.直线、平面垂直的判定和性质空间垂直关系的判定方法：(1)判定线线垂直的方法计算所成的角为90(包括平面角和异面直线所成的角)；线面垂直的性质(若a，b，则ab)(2)判定线面垂直的方法线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；线面垂直的判定定理(am，an，m，n，mnAa)；
8、平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)；面面垂直的性质(，l，a，ala)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(l，l)(3)面面垂直的判定方法根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90)；面面垂直的判定定理(a，a)如图15所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点图15求证：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.【精彩点拨】取EC中点F，CA中点N，连结DF，MN，BN.(1)证DFEABD，(2)证BNECA，(3)证DM平面ECA.【规范解答】(1)如图所示，取EC的中点F，连结DF，易知DFBC，
9、ECBC，DFEC.在RtDEF和RtDBA中，EFECBD，FDBCAB，RtDFERtABD，故DEDA.(2)取CA的中点N，连结MN，BN，则MN綊EC，MNBD，即N点在平面BDM内EC平面ABC，ECBN.又CABN，BN平面ECA.BN在平面MNBD内，平面MNBD平面ECA，即平面BDM平面ECA.(3)DMBN，BN平面ECA，DM平面ECA.又DM平面DEA，平面DEA平面ECA.再练一题3如图16，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD平面ABCD，M为PC的中点(1)求证：AP平面MBD；(2)若ADPB，求证：BD平面PAD. 【导学号：41292056】图16【解
10、】(1)如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点又M为PC的中点，所以OMPA.因为OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP平面MBD.(2)因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.因为ADPB，PDPBP，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD平面PBD.因为BD平面PBD，所以ADBD.因为PD平面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD.又因为BDAD，ADPDD，AD平面PAD，PD平面PAD，所以BD平面PAD.平面图形的翻折问题空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查(1)解决与翻折有关
11、的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形如图17，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBCAP，D是AP的中点，E，F分别为PC，PD的中点，将PCD沿CD折起得到四棱锥PABCD.图17(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG平面PAD；(2)当G为BC的中点时，求证：AP平面EFG.【精彩点拨】(1)转化为证EF平面PAD；(2)转化为证平面PAB平面EFG.【规范解答】(1)在直角梯形A
12、BCP中BCAP，BCAP，D为AP的中点，BC綊AD，又ABAP，ABBC.四边形ABCD为正方形CDAP，CDAD，CDPD.在四棱锥PABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，EFCD，EFAD，EFPD.又PDADD，PD平面PAD，AD平面PAD.EF平面PAD.又EF平面EFG，平面EFG平面PAD.(2)法一G，F分别为BC和PC的中点，GFBP，GF平面PAB，BP平面PAB，GF平面PAB.由(1)知，EFDC，ABDC，EFAB，EF平面PAB，AB平面PAB，EF平面PAB.EFGFF，EF平面EFG，GF平面EFG.平面EFG平面PAB.PA平面PAB，PA平面EFG.
13、法二取AD中点H(略)，连结GH，HE.由(1)知四边形ABCD为平行四边形又G，H分别为BC，AD的中点，GHCD.由(1)知，EFCD，EFGH.四点E，F，G，H共面E，H分别为PD，AD的中点，EHPA.PA平面EFGH，EH平面EFGH.PA平面EFGH，即PA平面EFG.再练一题4如图18(1)所示，在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图18(2)所示(1)(2)图18(1)求证：BE平面ADF；(2)求三棱锥FBCE的体积【解】(1)证明：法一取DF的中点G，连结AG，EG，
14、CEDF，EG綊CD.又AB綊CD，EG綊AB，四边形ABEG为平行四边形，BEAG.BE平面ADF，AG平面ADF，BE平面ADF.法二由图(1)可知BCAD，CEDF，折叠之后平行关系不变BC平面ADF，AD平面ADF，BC平面ADF.同理CE平面ADF.BCCEC，BC，CE平面BCE，平面BCE平面ADF.BE平面BCE，BE平面ADF.(2)法一VFBCEVBCEF，由图(1)可知BCCD，平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面DCEF.由图(1)可知DCCE1，SCEFCEDC，VFBCEVBCEFBCSCEF.法二由图(1)，可知CDB
15、C，CDCE，BCCEC，CD平面BCE.DFCE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由图(1)，可知BCCE1，SBCEBCCE，VFBCECDSBCE.法三过E作EHFC，垂足为H，如图所示，由图(1)，可知BCCD，平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面DCEF.EH平面DCEF，BCEH，EH平面BCF.由BCFC，FC，SBCFBCCF，在CEF中，由等面积法可得EH，VFBCEVEBCFEHSBCF.1已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为_.
16、【导学号：41292057】【解析】如图，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVCAOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.【答案】1442已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是_若，垂直于同一平面，则与平行；若m，n平行于同一平面，则m与n平行；若，不平行，则在内不存在与平行的直线；若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【解析】，可能相交，故错误；直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错
17、误；若m，n，mn，则m，故错误；假设m，n垂直于同一平面，则必有mn，所以原命题正确，故正确【答案】3一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图19所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF平面BEG.图19【解】(1)点F，G，H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH.证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG.又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCHE为平行四边形所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH
18、.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH.因为EG平面EFGH，所以DHEG.又EGFH，DHFHH，所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DFEG.同理DFBG.又EGBGG，所以DF平面BEG.4.如图110，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积图110【解】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，
19、所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.5.如图111，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点图111(1)求证：VB平面MOC；(2)
20、求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积【解】(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB/平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.6如图112，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，
21、PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积【解】(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.因为PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，所以G是AB的中点(2)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC.又PAPCP，因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CDCG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，因此PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2，所以四面体PDEF的体积V222.
