1、单元质检八立体几何(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2021天津西青模拟)设x,yR,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(3,-6,3),且ac,bc,则|a+b|=()A.10B.3C.4D.222.如图,一个透明的球形装饰品内放置了两个共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,已知圆锥底面面积是这个球面面积的316,则较大圆锥与较小圆锥的体积之比为()A.21B.31C.41D.513.一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为()A.28B.32C.36D.11234.(2021北京高考)
2、某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h降雨量的等级划分如下:等级24h降雨量(精确到0.1)小雨0.19.9中雨10.024.9大雨25.049.9暴雨50.099.9在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h降雨量的等级是()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨5.在四面体ABCD中,E,F分别为棱AC,BD的中点,AD=6,BC=4,EF=2,则异面直线AD与BC所成角
3、的余弦值为()A.34B.56C.910D.11126.某几何体的三视图如图所示,则在该几何体中,面积最大的侧面的面积为()A.22B.52C.62D.3二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2021山东济南二模)已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍,则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为.8.在三棱锥A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=2,点E是BC的中点,点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点,则该三棱锥外接球的表面积为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中
4、点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.10.(15分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.11.(15分)(2021广东茂名二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA矩形ABCD,其中AD=2,AB=1,PA=2,点E为矩形ABCD的边BC上一动点.(1)已知F为线段PD上一点,|PD|=3|DF|,是否存在点E,使得EF平面PAB?若存在,请求出CE的长;若不存在,请说明理由;(2)若DEPE,
5、求直线PC与平面PED所成角的余弦值.答案：1.B解析因为ac,所以3x-6+3=0,解得x=1,所以a=(1,1,1).因为bc,所以13=y-6=13,解得y=-2,所以b=(1,-2,1).所以a+b=(2,-1,2),所以|a+b|=22+(-1)2+22=3.2.B解析不妨设球的半径为4,则球的表面积为64,圆锥的底面积为12,故圆锥的底面半径为23.由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离、球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形,由此可以求得球心到圆锥底面的距离是42-(23)2=2,所以圆锥体积较小者的高为4-2=2,同理可得圆锥体积较大者的高为4+2=6.又这两个圆锥
6、的底面相同,所以较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们的高之比,即31.故选B.3.D解析该几何体是一个底面为正方形的四棱锥,其中一个侧面为正三角形且与底面垂直,分别过正方形底面和正三角形侧面的中心作面的垂线,交点为外接球球心,由勾股定理求得球的半径为283,表面积为1123.4.B解析由题意,一个半径为2002=100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为2002150300=50(mm),高为150mm的圆锥,所以积水厚度d=135021501002=12.5(mm),属于中雨.5.D解析如图所示,取CD的中点G,连接EG,FG,则FGBC,EGAD.异面直线AD与BC所成的角为EGF或其
7、补角.FG=12BC=2,EG=12AD=3,cosEGF=4+9-2223=1112.异面直线AD与BC所成角的余弦值为1112.故选D.6.B解析由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED平面BCDE,四棱锥A-BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,则SAED=1211=12,SABC=SABE=1212=22,SACD=1215=52,故选B.7.3解析设圆锥的母线长为l,底面半径为r,圆锥的母线与其底面所成的角为,则122rl=2r2rl=12,cos=12=3.8.6011解析由题意知,BCD为等腰直角三角形,点E是BCD外接圆的圆心,点A在平面BCD上的射影恰好
8、为DE的中点F,则BF=1+14=52,AF=4-54=112.设三棱锥A-BCD外接球的球心O到平面BCD的距离为h,球O的半径为r,则r2=1+h2=14+112-h2,h=211,r=1+411=1511.该三棱锥外接球的表面积为41511=6011.9.(1)证明因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.如图,连接OB,因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC且OBAC=O,OB,AC平面ABC知,PO平面ABC.(2)解如图,作CHOM,垂足为H.又由(
9、1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,ACB=45,所以OM=253,CH=OCMCsinACBOM=455.所以点C到平面POM的距离为455.10.(1)证明由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=45,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,|DA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则C(0,1,0),B(
10、1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1),CC1=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则CBn=0,CEn=0,即x=0,x-y+z=0,所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则CC1m=0,CEm=0,即2z=0,x-y+z=0,所以可取m=(1,1,0).于是cos=nm|n|m|=-12.所以,二面角B-EC-C1的正弦值为32.11.解四边形ABCD为矩形,ABAD,又PA平面ABCD,则以A为坐标原点,AB,AD,AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系
11、如图所示.则D(0,2,0),P(0,0,2),C(1,2,0),F0,43,23.(1)设E(1,y,0)(0y2),则EF=-1,43-y,23.由题意,知n=(0,1,0)为平面PAB的一个法向量,若存在点E,使得EF平面PAB,则EFn,即EFn=43-y=0,解得y=43.存在点E,使得EF平面PAB,此时CE=2-43=23.(2)设E(1,t,0)(0t2),则DE=(1,t-2,0),PE=(1,t,-2).DEPE,DEPE=1+t(t-2)=0,解得t=1,即E(1,1,0),PE=(1,1,-2),DE=(1,-1,0).设平面PED的法向量m=(a,b,c),则mPE=a+b-2c=0,mDE=a-b=0,令a=1,则b=1,c=2,m=(1,1,2).又PC=(1,2,-2),设直线PC与平面PED所成角为,sin=|cos|=|PCm|PC|m|=127,又0,2,cos=32114,即直线PC与平面PED所成角的余弦值为32114.
