1、11任意角、弧度11.1任意角1.了解角的定义2.理解任意角、象限角的概念3.掌握终边相同的角的表示方法1角的概念(1)角的定义：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边(如图)(2)正角、负角和零角按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角(3)象限角和轴线角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，称这
2、个角为轴线角2终边相同的角的关系(1)角与角终边相同k360，kZ.(2)与角终边相同的角的集合为：|k360，kZ1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)第一象限角都是锐角()(2)钝角是第二象限的角()解析：(1)错误如330是第一象限角，但它是一个负角(2)正确钝角是大于90且小于180的角，所以是第二象限的角答案：(1)(2)22 020是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角答案：C3与30角终边相同的角的集合是()A|30k360，kZB|30k360，kZC|30k180，kZD|30k180，kZ解析：选A由终边相同的角的定义可知与30角终边相同的角的集合是|3
3、0k360，kZ4将35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角度数为_，将35角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为_答案：25395角的概念的推广下列结论：三角形的内角必是第一、二象限角；始边相同而终边不同的角一定不相等；钝角比第三象限角小；小于180的角是钝角、直角或锐角其中正确的结论为_(填序号)【解析】90的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故不正确；始边相同而终边不同的角一定不相等，故正确；钝角大于100的角，而100的角是第三象限角，故不正确；0角小于180，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故不正确【答案】理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、
4、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可 1.(1)下列说法正确的是_(填序号)零角的始边和终边重合；始边和终边重合的角是零角；如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则AOB45；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则BOA45；绝对值最小的角是零角(2)如图，射线OA绕端点O旋转90到射线OB的位置，接着再旋转30到OC的位置，则AOC的度数为_解析：(1)根据角的概念可知正确，不正确，因为360角的始边和终边也重合(2)AOCAOBBOC90(30)60.答案：(1)(2)60
5、终边相同的角(1)已知1 910.把写成k360(kZ，0360)的形式，并指出它是第几象限角；求，使与的终边相同，且7200.(2)在与角10 030终边相同的角中，求满足下列条件的角最大的负角；360，720)的角【解】(1)因为1 9103606余250，所以1 9106360250，所以250，从而6360250是第三象限角令250k360(kZ)，取k1，2就得到适合7200的角250360110，250720470.(2)与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)，由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负
6、角为50.由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤写出在0，360)内相应的角；由终边相同的角的表示方法写出角的集合；根据条件能合并一定合并，使结果简洁(2)终边相同的角常用的三个结论终边相同的角之间相差360的整数倍；终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍；终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍 2.写出终边落在直线yx上的角的集合S，并把S中适合不等式360720的元素写出来解：由于直线yx是第二、四象限的角平分线，在0360间所对应的两个角分别是135和315，从而S|k36
7、0135，kZ|k360315，kZ|2k180135，kZ|(2k1)180135，kZ|k180135，kZ所以S中适合360720的元素是2180135225；118013545；0180135135；1180135315；2180135495；3180135675.区域角的表示已知集合A|30k18090k180，kZ，B|45k36045k360，kZ(1)试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域；(2)求AB【解】(1)如图所示：集合A中的角的终边在阴影()内，集合B中的角的终边在阴影()内(2)集合AB中的角的终边在阴影()和()的公共部分内，所以AB|30k36
8、045k360，kZ区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始、终止边界对应的360到360范围内的角、，写出最简区间x|x；(3)再加上起始、终止边界对应角、出现的k倍的周期，即得区域角集合3.如图(1)、图(2)、图(3)所示，写出终边落在阴影处(包括边界)的角的集合解：(1)由图(1)可知，角的集合为|40k36050k360，kZ(2)由图(2)可知，角的集合为|45k36090k360，kZ|225k360270k360，kZ|452k180902k180，kZ|45(2k1)18090(2k1
9、)180，kZ|45n18090n180，nZ(3)由图(3)可知，角的集合为|60k360315k360，kZ1角的三个要素顶点、始边、终边角可以是任意大小的2各象限角的表示第一象限角：S|k36090k360，kZ；第二象限角：S|90k360180k360，kZ；第三象限角：S|180k360270k360，kZ；第四象限角：S|270k360360k360，kZ3对终边相同的角及集合S|k360，kZ的理解(1)k是整数，这个条件不能漏掉(2)是任意角(3)k360与之间用“”号连接，如k36030应看成k360(30)(kZ)(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边
10、相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍下列说法中正确的序号是_三角形的内角必是第一、二象限角；第二象限角必是钝角；不相等的角终边一定不相同；若k360(kZ)，则和终边相同【解析】90的角可以是三角形的内角，但它不是第一、二象限角；460的角是第二象限角，但它不是钝角；390角和30角不相等，但终边相同，故，均不正确对于，由终边相同的角的概念可知正确【答案】(1)若三角形是直角三角形，则有一个角为直角，且直角的终边在y轴的非负半轴上，不属于任何象限若忽视此点，则易错填.(2)解决好此类问题应注意以下三点：弄清直角和象限角的区别，把握好概念的实质内容；弄清钝角和象限角的区别；对角的认识不能仅仅局
11、限于0360.1下列角中，终边在y轴非负半轴上的是()A45B90C180D270解析：选B根据角的概念可知，90角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90，故其终边在y轴的非负半轴上2下列各角中与330角终边相同的角是()A510B150C150D390解析：选D390330720，所以与330角终边相同的角是390.3在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650.解：(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角
12、是290角，它是第四象限角学生用书P77(单独成册)A基础达标1下列角的终边位于第二象限的是()A420B860C1 060D1 260解析：选B42036060，终边位于第一象限；8602360140，终边位于第二象限；1 0602360340，终边位于第四象限；1 2603360180，终边位于x轴非正半轴故选B2与1 303终边相同的角是()A763B493C137D47解析：选C因为1 3034360137，所以与1 303终边相同的角是137.3集合A|k9036，kZ，B|180180，则AB()A36，54 B126，144C126，36，54，144 D126，54解析：选C令
13、k1，0，1，2，则A，B的公共元素有126，36，54，144.4若是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A90B90C360D180解析：选C特例法，取30，可知C正确故选C5若角，的终边相同，则的终边落在()Ax轴的非负半轴上Bx轴的非正半轴上Cx轴上Dy轴的非负半轴上解析：选A因为角，的终边相同，故k360，kZ.所以的终边落在x轴的非负半轴上6设集合M|k9036，kZ，N|180180，则MN等于_解析：当k0时，36；当k1时，54；当k2时，144；当k1时，126.所以MN36，54，126，144答案：36，54，126，1447如果角与角45的终边重合，角与角4
14、5的终边重合，那么角与角的关系为_解析：由条件知45k1360(k1Z)，45k2360(k2Z)将两式相减消去，得(k1k2)36090，即k36090(kZ)答案：k36090(kZ)8.如图，终边落在OA的位置上的角的集合是_；终边落在OB的位置上，且在360360内的角的集合是_解析：终边落在OA的位置上的角的集合是|120k360，kZ；终边落在OB的位置上的角的集合是|315k360，kZ(或|45k360，kZ)，取k0，1，得315，45，所求的集合是45，315答案：|120k360，kZ45，3159在0，360)范围内，找出与1 240角终边相同的角，并判断它是第几象限角
15、解：因为1 2404360200，所以在0，360)范围内与1 240角终边相同的角是200角又200角是第三象限角，所以1 240角也是第三象限角10已知角的终边在直线xy0上(1)写出角的集合S；(2)写出S中适合不等式360720的元素解：(1)因为角的终边在直线xy0上，且直线xy0的倾斜角为60，所以角的集合S|60k180，kZ(2)在S|60k180，kZ中，取k2，得300，取k1，得120，取k0，得60，取k1，得240，取k2，得420，取k3，得600.所以S中适合不等式360720的元素分别是300，120，60，240，420，600.B能力提升1若是第二象限角，那
16、么和2都不是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析：选B由是第二象限角可知是第一或第三象限角，2是第三或第四象限角，所以和2都不是第二象限角2自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是_解析：大链轮转动一周，小链轮转2.4周，角度为2.4360864.答案：8643已知集合A|k18045k18060，kZ，集合B|k36055k36055，kZ(1)在平面直角坐标系中，表示出角终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角终边所在区域；(3)求AB解：(1)角终边所在区域为如图所示阴影部分(不含边界)(2)角终边所在区域为如图所示阴影部分(不含边界)(3)由(1)(2)知AB|k36045k36055，kZ4.(选做题)如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，AOx45.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转已知点P在1 s内转过的角度为(0180)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角并判定其终边所在的象限解：由题意，得144545k360，kZ，则，kZ.又180245270，即67.5112.5，则67.5112.5，kZ，所以k3或k4.故或.易知090，90180，故角的终边在第一或第二象限