1、单元质检七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.已知a0,b0,且1a,12,1b成等差数列,则a+9b的最小值为()A.16B.9C.5D.42.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确3.(2021浙江,5)若实数x,y满足约束条件x+10,x-y0,2x+3y-10,则z=x-12y的最小值是()A.-2B.-32C.-12D.1104.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.0,2B.-
2、2,0C.-2,+)D.(-,-25.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多6.若实数a,b满足约束条件a+b-20,b-a-10,a1,则ba的最小值为()A.1B.2C.3D.47.已知不等式1a-b+1b-c+c-a0对满足abc恒成立,则的取值范围是()A.(-,0B.(-,1)C.(-,
3、4)D.(4,+)8.已知关于x的不等式ax2-5x+b0的解集为xx12,则不等式bx2-5x+a0的解集为()A.x-13x12B.xx12C.x|-3x2D.x|x29.(2021湖南湘潭质检)近年来,冬季气候干燥,冷空气频繁来袭.为提高公民的取暖水平,某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比,每月供热费与供热站到社区的距离成正比,如果在距离社区20千米处建立供热站,这两项费用分别为5千元/月和8万元/月,那么要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区()千米处.A.5B.6C.7D.810.已知实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+y-a0,2
4、x-y-40.若z=y+1x+1的最小值为-14,则正数a的值为()A.76B.1C.34D.8911.(2021广西贵港模拟)某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据市场预测,甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别为30%和20%,可能最大亏损率分别为50%和20%.该投资人计划利用不超过300万元的资金投资甲、乙这两个项目,在总投资风险不超过30%的情况下,该投资人可能获得的最大盈利为()A.40万元B.50万元C.60万元D.70万元12.已知a0,b0,若不等式4a+1bma+4b恒成立,则m的最大值为()A.9B.12C.16D.10二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.观
5、察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610正方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.14.(2021浙江杭州高三期末)若a0,b0,且a+b=1,则a2+b2的最小值为,a+b的最大值为.15.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,xn,都有f(x1)+f(x2)+f(xn)nfx1+x2+xnn.若y=sin x在区间(0,)内是凸函数,则在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是.16.(2021云南曲靖模拟预测)若实数x,y满足约束条件x-2y+10,x+2y+10,x-10,则z=a
6、x+by(ab0)取最大值4时,4a+1b的最小值为.答案：1.A解析1a,12,1b成等差数列,1a+1b=1.又a0,b0,a+9b=(a+9b)1a+1b=10+ab+9ba10+2ab9ba=16,当且仅当ab=9ba,且1a+1b=1,即a=4,b=43时等号成立.故选A.2.C解析因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.3.B解画出满足约束条件x+10,x-y0,2x+3y-10的可行域,如下图所示.目标函数z=x-12y化为y=2x-2z,作出直线y=2x,并平移,由图可知,当直线过A点时,直线在y轴上的截距最大,此时z最小.由x=-1,2x+3y-1=0
7、,解得x=-1,y=1,即A(-1,1).故z的最小值为-32.4.D解析2x+2y=122x+y,1222x+y,即2x+y2-2.x+y-2.5.B解析若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选B.6.A解析先
8、根据实数a,b满足a+b-20,b-a-10,a1画出可行域.设z=ba,则z的几何意义为可行域内的点与点(0,0)连线的斜率,由a=1,a+b-2=0,可得点A的坐标为(1,1).在可行域内的点A(1,1)与O连线的斜率的值即为z=ba的最小值,最小值为1.故选A.7.C解析由题意,可变形得bc,所以1+a-bb-c+b-ca-b+14(当且仅当(a-b)2=(b-c)2时等号成立),则0,且12,-13是关于x的方程ax2-5x+b=0的两根,-13+12=5a,-1312=ba,解得a=30,b=-5,bx2-5x+a0为-5x2-5x+300,即x2+x-60,解得-3x0,由z=y+
9、1x+1表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,且z的最小值为-14,所以点A与点(-1,-1)连线的斜率最小.由2x+y-a=0,2x-y-4=0,解得A1+a4,a2-2,z=y+1x+1的最小值为-14,即y+1x+1min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8=-14,解得a=89.故选D.11.D解析设甲、乙项目的投资资金分别为x,y万元,由题意有x+y300,0.5x+0.2y90,x0,y0,且最大盈利为30%x+20%y,该投资人可能获得的最大盈利,即为以上不等式为约束条件下,求目标式z=30%x+20%y=0.3x+0.2y的最大值.由上图知,当直线z=0.3x
10、+0.2y过直线x+y=300,0.5x+0.2y=90的交点(100,200)时有最大值,z=0.3100+0.2200=70(万元).12.C解析因为a0,b0,4a+1bma+4b,所以m4a+1b(a+4b)=8+ab+16ba,8+ab+16ba8+2ab16ba=16,当且仅当a=4b时等号成立.故m的最大值为16.13.F+V-E=2解析三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.14.122解析a0,b0,a+b=1,aba+b22=14,当且仅当a=b=12时取等号.a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab1-1
11、2=12,当且仅当a=b=12时取等号,故a2+b2的最小值为12.(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab1+a+b=2,当且仅当a=b=12时取等号,故a+b的最大值为2.15.332解析由题意知,凸函数f(x)满足f(x1)+f(x2)+f(xn)nfx1+x2+xnn.y=sinx在区间(0,)内是凸函数,sinA+sinB+sinC3sinA+B+C3=3sin3=332.16.94解析由约束条件可得可行域如图阴影部分所示.当z=ax+by(ab0)取最大值时,直线y=-abx+zb在y轴上的截距最大.ab0,-ab-1,则由图形可知,当直线y=-abx+zb过点A时,在y轴上的截距最大.由x-2y+1=0,x=1,得x=1,y=1,即A(1,1),zmax=a+b=4,4a+1b=144a+1b(a+b)=145+4ba+ab145+24baab=94当且仅当4ba=ab,即a=2b=83时取等号,4a+1b的最小值为94.