1、单元质检六数列(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列an的前n项和为Sn,a6=15,S9=99,则等差数列an的公差是()A.14B.4C.-4D.-32.在各项都为正数的等比数列an中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=()A.33B.72C.84D.1893.在等差数列an中,已知a4=5,a3是a2和a6的等比中项,则数列an的前5项的和为()A.15B.20C.25D.15或254.(2021广东深圳实验学校高三月考)已知等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的自然数n,都有SnTn=
2、4n-8n+1,则a3+a15b1+b11+2a3b5+b7=()A.3B.6C.327D.80135.设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=()A.-2B.-1C.12D.236.(2021江西上饶三模)南宋著名数学家杨辉在1261年所著的解析九章算法中首次提出“杨辉三角”,如图所示,这是数学史上的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中,已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前n项和为Sn,bn=2log2(Sn+1)-1,则b2021的值为()A.4 041B.4 043C.4 039D.4 037二、填空题(本大题共2小题,每小
3、题7分,共14分)7.已知数列an满足a1=1,an-an+1=2anan+1,则a6=.8.(2021浙江绍兴适应性考试)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠亦日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?”题意是:今有土墙厚若干尺,有两鼠从墙的两边打洞穿墙,大鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小鼠第一天也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,Sn为前n天两鼠打洞长度之和,则S3=尺.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在数列an和bn中,a1=1,an+1=an+2,b1=3,b2=7,等比数列cn满足cn=bn-a
4、n.(1)求数列an和cn的通项公式;(2)若b6=am,求m的值.10.(15分)(2021广东广雅中学高三月考)已知数列an满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1).(1)求证:数列ann为等差数列,并求出数列an的通项公式;(2)若bn=ancos n,求数列bn的前100项和S100.11.(15分)(2021广东韶关一模)已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=-n2+kn(kN*),且Sn的最大值为25.(1)求k的值及an的通项公式;(2)求数列n2an-11的前n项和Tn.答案：1.B解析数列an是等差数列,a6=15,S9=99,a1+a9=22,2a5=22,a
5、5=11.公差d=a6-a5=4.2.C解析在各项都为正数的等比数列an中,首项a1=3,前三项和为21,设公比为q,则3+3q+3q2=21,解得q=2,故a3+a4+a5=(a1+a2+a3)q2=2122=84.3.A解析设an的公差为d.在等差数列an中,a4=5,a3是a2和a6的等比中项,a1+3d=5,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得a1=-1,d=2,S5=5a1+542d=5(-1)+54=15.故选A.4.B解析数列an,bn均为等差数列,由等差数列下标和的性质得a3+a15b1+b11+2a3b5+b7=2a9b1+b11+2a3b1+b11=2(a3+
6、a9)b1+b11=2a1+a11b1+b11=2a1+a11211b1+b11211=2S11T11=2411-811+1=6.5.B解析S2=3a2+2,S4=3a4+2,S4-S2=3(a4-a2),即a1(q3+q2)=3a1(q3-q),q0,解得q=32,代入a1(1+q)=3a1q+2,解得a1=-1.6.A解析因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列,且第一行数字和为1,第二行数字和为2,第三行数字和为4,所以该等比数列首项为1,公比q=2,所以Sn=1-2n1-2=2n-1,所以bn=2log2(Sn+1)-1=2log22n-1=2n-1,所以b2021=22021-1=4
7、041.7.111解析由题意知an0,由an-an+1=2anan+1,得1an+1-1an=2,即数列1an是以1a1=1为首项,2为公差的等差数列.所以1a6=1a1+52=11,即a6=111.8.354解析由题意知,大鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以大鼠前n天打洞长度之和为1-2n1-2=2n-1,同理小鼠前n天打洞长度之和为1-12n1-12=2-12n-1,所以Sn=2n-1+2-12n-1=2n-12n-1+1,所以S3=23-123-1+1=354.9.解(1)因为an+1=an+2,且a1=1,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.所以an=1+
8、(n-1)2=2n-1.因为b1=3,b2=7,且a1=1,a2=3,所以c1=b1-a1=2,c2=b2-a2=4.因为数列cn是等比数列,所以数列cn的公比q=c2c1=2,所以cn=c1qn-1=22n-1=2n.(2)由(1)得bn-an=2n,an=2n-1,所以bn=2n+2n-1.所以b6=26+26-1=75.令2m-1=75,解得m=38.10.(1)证明因为nan+1=(n+1)an+n(n+1),即an+1=n+1nan+(n+1),所以an+1n+1=ann+1,所以数列ann是公差与首项都为1的等差数列.故ann=1+(n-1)1=n,即an=n2.(2)解由(1)知
9、,bn=ancosn=(-1)nn2,当n=2k-1,kN*时,b2k-1=-(2k-1)2=-4k2+4k-1;当n=2k,kN*时,b2k=(2k)2=4k2.所以b2k-1+b2k=4k-1,所以S100=(b1+b2)+(b3+b4)+(b99+b100)=3+7+199=3+199250=5050.11.解(1)由题可得Sn=-n-k22+k24(kZ*),所以当k为偶数时,(Sn)max=Sk2=k24=25,解得k=10;当k为奇数时,(Sn)max=Sk+12=k2-14=25,此时k无整数解.综上可得,k=10,Sn=-n2+10n.当n=1时,a1=S1=9;当n2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+10n)-(n-1)2+10(n-1)=-2n+11,当n=1时也成立.综上可得an=-2n+11.所以k=10,an=-2n+11(nN*).(2)n2an-11=n2-2n=n4n,Tn=141+242+n4n,14Tn=142+243+n-14n+n4n+1,-,得34Tn=14+142+14n-n4n+1,即34Tn=141-14n1-14-n4n+1=13-134n-n4n+1,则Tn=49-194n-1-n34n.所以Tn=49-3n+494n.