1、此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 2021届高三第二次模拟考试卷理 科 数 学（二）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集
2、，集合，则（ ）ABCD2已知复数与在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）ABCD3执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框内可以填（ ）ABCD4已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知函数的部分图象如图所示给出下列结论：，；，；点为图象的一个对称中心；在上单调递减其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD6在中，则（ ）ABCD7已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD8已知数列的前项和为，则（ ）ABCD9如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一
3、颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球若一个小球从正上方落下，落到号位置的概率是（ ）ABCD10已知函数满足和，且当时，则（ ）A0B2C4D511已知双曲线的焦点在，过点的直线与两条渐近线的交点分别为MN两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ）ABCD12已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13的展开式中的系数是_（用数字作答）14已
4、知函数，过点作曲线的切线l，则直线l与曲线及y轴围成的图形的面积为_15若实数，满足不等式组，则的最大值为_16已知圆，是圆上两点，点且，则最大值是_三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）数列的前项和为，点在函数的图象上（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和18（12分）甲、乙两组各有位病人，且位病人症状相同，为检验、两种药物的药效，甲组服用种药物，乙组服用种药物，用药后，甲组中每人康复的概率都为，乙组三人康复的概率分别为、（1）设甲组中康复人数为，求的分布列和数学期望；（2）求甲组中康复人数比乙组中康复人数多人的概率19（12分
5、）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，是的两个三等分点，都是圆柱的母线（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值20（12分）已知动圆与轴相切且与圆相外切，圆心在轴的上方，点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）已知，过点作直线交曲线于两点，分别以为切点作曲线的切线相交于，当的面积与的面积之比取最大值时，求直线的方程21（12分）已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，关于的不等式有解，求的最大值请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知某曲线的参数方程为（为参数）（1）若是曲线上的任意一点，求的最大值；（2）已知
6、过的右焦点，且倾斜角为的直线与交于两点，设线段的中点为，当时，求直线的普通方程23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围理 科 数 学 答 案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】B【解析】由题可得，则，因此，故选B2【答案】C【解析】，又复数与在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以，故选C3【答案】A【解析】执行给定的程序框图，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第4次循环：；第5次循环：；第6次循环
7、：，要使得输出的结果为，结合选项，判断框内可以填，故选A4【答案】C【解析】若函数为奇函数，且函数的定义域为，解得，所以，“”是“为奇函数”的充分必要条件，故选C5【答案】D【解析】由图象可知，再由，得，故不正确，正确；由于为图象的一个对称中心，又的最小正周期为，故其全部的对称中心为，当时，对称中心为，故错误；由于为的单调递减区间，的最小正周期为，故的单调递减区间为，当时，即为，故正确，故选D6【答案】A【解析】因为，所以，解得，故选A7【答案】B【解析】如图，三视图的直观图为三棱锥为，且，按如图所示放在长方体中，则其外接球的直径等于长方体的对角线长，且，因为长方体的对角线长为，则外接球半径为
8、，且体积为，故选B8【答案】A【解析】当时，则，且，即，所以两式作差得，即，即，所以，即则，所以，故选A9【答案】C【解析】当小球经过第层时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为，所以，当小球经过第层时，共碰到次钉子，要使得小球经过第号通道，必须满足次向右、次向左滚下，所以，同理可得要使得小球经过号位置（即第层号通道），可由第层号通道向右滚下、也可以由第层号通道向左滚下，因此，故选C10【答案】C【解析】函数满足和，可函数是以为周期的周期函数，且关于对称，又由当时，所以，故选C11【答案】C【解析】由题意，可得如下示意图：其中，知，又，即且，中，有，得，在中，若与x轴夹角为，即，由，即可得
9、，故选C12【答案】B【解析】函数，因此时，函数单调递增；，可得函数在单调递增；在单调递减，可得：在时，函数取得极大值，画出图象：可知：令，时，函数无零点；时，解得或，时，解得，此时函数只有一个零点，舍去，由，可知：此时函数无零点，舍去；，解得或，解得，时，此时函数无零点，舍去；因此，可得由恰有四个不同的零点，解得，则a取值范围为，故选B第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】【解析】由题设二项式知：，项，即，系数为，故答案为14【答案】【解析】由，过点作曲线的切线l，设切点为，则，所以切线的方程为，由切线过点，则，解得，所以切线的方程为，直线l与曲线及y轴围成的图形的面积为，故
10、答案为15【答案】256【解析】作出可行域，如图内部（含边界），令，作直线，在直线中为直线的纵截距，直线向上平移时增大，所以平行直线，当直线过点时，所以，故答案为25616【答案】【解析】如图所示，设是线段的中点，则，因为，于是，在中，由勾股定理得，整理得，故的轨迹是以为圆心，半径为的圆，故，又由圆的弦长公式可得，故答案为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知：点()均在二次函数的图象上，故，当时，当时，也适合上式所以（2），18【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）【解析】（1）由题意可知，所以，所以
11、，随机变量的分布列如下表所示：因此，（2）设乙组中康复人数为，记事件甲组中康复人数比乙组中康复人数多人，则19【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接，因为，是半圆的两个三等分点，所以，又，所以，均为等边三角形，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，平面，平面，所以平面因为，都是圆柱的母线，所以，又因为平面，平面，所以平面又平面，所以平面平面，又平面，所以平面（2）连接，因为是圆柱的母线，所以圆柱的底面，因为为圆的直径，所以，所以直线，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系如图：因为，所以，由题知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，所以由图可知，二面角的平面角为锐角
12、，所以二面角的余弦值为20【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知，到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义知，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(除去坐标原点)，则的方程为（2）由题意知，在曲线上，直线的斜率存在，设方程为，因为直线不经过点，所以由，可得，设，则，以为切点的切线方程为，即，同理以为切点的切线为，由，故两式做差整理得，所以，两式求和整理得，故，所以交点，设到的距离为，到的距离为，则，设，则，当，即时，取最大值，直线的方程为21【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）【解析】（1）函数的定义域为，当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减（2）设，则当时，有两个根，不妨令，又，由题意舍去当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，存在使成立，即又，令，则函数在上单调递增，即得最大值为22【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意得，当，即时，的最大值为（2），由于，整理得由直线的倾斜角为，依题意易知：，可设直线的参数方程为（为参数），代，得到，易知，设点和点对应的参数为和，所以，则，由参数的几何意义：，所以，所以直线的斜率为，直线的普通方程为23【答案】（1）；（2）【解析】（1）不等式，即，所以，由，解得因为，所以，当时，不等式等价于或或，即或或，故，故不等式的解集为（2）因为，由，可得，又由，使得成立，则，解得或故实数的取值范围为