1、单元质检二函数(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=2x-4,x0,2x,x0,则f(f(1)=()A.2B.0C.-4D.-62.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)内单调递增的是()A.y=-1xB.y=-x2C.y=e-x+exD.y=|x+1|3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0上f(x)是减函数.若f(2)=0,则使得f(x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(-2,2)C.(-,-2)(2,+)D.(2,+)4.设a=log32,b=ln 2,c=5-12,则()A.abcB.bca
2、C.cabD.cb0,2x,x0,若f(a)=12,则实数a的值为()A.-1B.2C.-1或2D.1或-26.(2021四川泸州高三诊断)函数f(x)=2ex的图象与函数g(x)=1x+5的图象交点所在的区间可能为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)7.已知函数f(x)=a-2ex+1(aR)是奇函数,则函数f(x)的值域为()A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-3,3)D.(-4,4)8.(2021贵州贵阳一中高三月考)若3a+log3a=9b+2log9b,则()A.a2bB.ab2D.a0,且a1)的值域为y|00).若x1-5,a(a-4),x2(0,+)
3、,使得f(x1)=g(x2)成立,则a的最大值为()A.-4B.-3C.-2D.0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=.14.(2021江苏常熟中学三模)已知函数f(x)同时满足f(0)=0;在区间1,3上单调递减;f(1+x)=f(1-x).该函数的解析式可以是f(x)=.15.已知函数f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.16.已知直线y=mx与函数f(x)=2-13x,x0,12x2+1,x0的图象恰好有三个不同的公共点,则实数m的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分
4、)17.(10分)(2021湖南长沙质量检测)已知函数f(x)=ax(a0,且a1)的图象过点A(-3,8).(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数f(x)在区间m,2m上的最大值是最小值的4倍,求实数m的值.18.(12分)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在区间2,3上有最大值4和最小值1.设f(x)=g(x)x.(1)求a,b的值;(2)若当x-1,1时,不等式f(2x)-k2x0有解,求实数k的取值范围.19.(12分)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两个城市共投资240万元,根据行业规定,每个城市至少要投资80
5、万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=42a-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=14a+2,80a120,32,1200,x+1,x0.(1)在平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象;(2)g(x)=f(x)-a,若函数g(x)有3个零点,求实数a的取值范围;(3)解方程f(f(x)=0.22.(12分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x0时,f(x)0,且f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)在区间-3,3上的最大值;(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)0),2x(x0),则
6、f(f(1)=f(2-4)=f(-2)=-4.故选C.2.C解析选项A中函数是奇函数,不合题意;选项B中函数在区间(0,+)内单调递减,不合题意;选项D中函数为非奇非偶函数,不合题意.故选C.3.B解析由题意知f(-2)=f(2)=0,当x(-2,0时,f(x)f(-2)=0.由对称性知,当x0,2)时,f(x)为增函数,f(x)f(2)=0,故x(-2,2)时,f(x)log2e1,所以a2=log24log23,所以ca.综上ca0或2a=12,a0,故a=2或a=-1.故选C.6.B解析设h(x)=2ex-1x-5.y=ex是R上的增函数,y=1x在区间(0,+)和(-,0)上都是减函数
7、,因此h(x)在区间(-,0)和(0,+)上都是增函数,由选项只考虑区间(0,+)上的情形,h(1)=2e-1-5=2e-60,h(3)=2e3-13-5=2e3-1630,h(4)=2e4-14-5=2e4-2140,所以h(x)在区间(1,2)上存在零点.所以函数f(x)=2ex的图象与函数g(x)=1x+5的图象交点所在的区间可能为(1,2),选B.7.A解析由f(x)是奇函数,可知f(-x)=-f(x),所以a-2e-x+1=-a+2ex+1,所以2a=2ex+1+2e-x+1,所以a=1ex+1+exex+1=1,所以f(x)=1-2ex+1.因为ex+11,所以01ex+11,所以
8、-11-2ex+132b+log3b=3a+log3a=f(a),2ba.9.A解析|x|0,若函数y=a|x|(a0,且a1)的值域为y|0y1,0a0时,函数y=loga|x|=logax,为减函数,当x0.由当x=10时,两项费用y1,y2分别是2万元和8万元,可得k1=20,k2=45,故y1+y2=20x+45x220x45x=8,当且仅当20x=45x,即x=5时取等号,故选A.12.C解析由题意得g(x)=log2(4x),0x0的图象,如图所示.直线y=mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线,当斜率m0时,直线y=mx与函数f(x)的图象只有一个公共点;当m0时,直线y=mx始终与
9、函数y=2-13x(x0)的图象有一个公共点,故要使直线y=mx与函数f(x)的图象有三个公共点,必须使直线y=mx与函数y=12x2+1(x0)的图象有两个公共点,即方程mx=12x2+1在x0时有两个不相等的实数根,即方程x2-2mx+2=0的判别式=4m2-420,且2m0,解得m2.故所求实数m的取值范围是(2,+).17.解(1)因为函数f(x)=ax(a0,且a1)的图象过点A(-3,8),所以a-3=8,解得a=12,所以f(x)=12x.(2)由(1)知f(x)=12x,所以函数f(x)在R上单调递减.故函数f(x)在区间m,2m上的最大值和最小值分别为12m,122m,所以1
10、2m=4122m,即1412m=12m+2=122m,解得m=2.18.解(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a.因为a0,所以g(x)在区间2,3上是增函数,故g(2)=1,g(3)=4,解得a=1,b=0.(2)由已知可得f(x)=x+1x-2,所以f(2x)-k2x0可化为2x+12x-2k2x,可化为1+12x2-212xk.令t=12x,则kt2-2t+1.因为x-1,1,所以t12,2.记h(t)=t2-2t+1,t12,2,因为t12,2,所以h(t)max=1.所以k1,即实数k的取值范围是(-,1.19.解(1)若投资甲城市128万元,则投资乙城市112万元,所以f(12
11、8)=42128-6+14112+2=88.故此时公司的总收益为88万元.(2)由题意知,若投资甲城市x万元,则投资乙城市(240-x)万元,依题意得x80,240-x80,解得80x160,当80x120,即120240-x160时,f(x)=42x-6+32=42x+260,故f(x)的最大值为88.故当投资甲城市128万元,投资乙城市112万元时,才能使公司总收益最大,且最大总收益为88万元.20.解(1)设f(x)=ax-t+222-t24(a0).因为f(1)=0,所以(a-1)t24=0.又因为t0,所以a=1,所以f(x)=x-t+222-t24(t0).(2)因为f(x)=x-
12、t+222-t24(t0),所以当t+22-1,即t12,即t-1时,f(x)在区间-1,12上的最小值f(x)min=f12=12-t+222-t24=-5,所以t=-212(舍去).综上,得t=-92.21.解(1)在平面直角坐标系中作出函数y=f(x)=|log4x|,x0,x+1,x0的图象,如图所示.(2)因为g(x)=f(x)-a有3个零点,即y=f(x)的图象与直线y=a有3个交点,由函数图象可知0a1.(3)由函数图象可知f(1)=f(-1)=0,因为f(f(x)=0,所以f(x)=1或f(x)=-1,即|log4x|=1或x+1=-1或x+1=1,解得x=4或x=14或x=-
13、2或x=0.即方程f(f(x)=0的解为x=4或x=-2或x=14或x=0.22.解(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意xR恒成立,故函数f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2(-,+),且x10.f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)0,f(x2)f(x2).f(x)在区间(-,+)内是减函数.对任意x-3,3,恒有f(x)f(-3).f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-23=-6,f(-3)=-f(3)=6,f(x)在区间-3,3上的最大值为6.(3)f(x)为奇函数,整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)f(ax)+f(-2).f(ax2-2x)ax-2,即(ax-2)(x-1)0.当a=0时,x(-,1);当a=2时,xxR|x1;当a0时,xx2ax1;当0a2a或x2时,xxx1.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为(-,1);当a=2时,原不等式的解集为xR|x1;当a0时,原不等式的解集为x2ax1;当0a2a或x2时,原不等式的解集为xx1.