1、2023届高考专题平面向量与三角形的“四心”一、三角形的“四心”(1)重心：三角形的三条中线的交点；O是ABC的重心0；(2)垂心：三角形的三条高线的交点；O是ABC的垂心；(3)外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)O是ABC的外心|(或222)；(4)内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)；O是ABC的内心0.注意：向量(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)类型一平面向量与三角形的“重心”问题例1 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足(1)(1)(12)，R，则点P的轨迹一定经过(C)AABC的内心BAB
2、C的垂心CABC的重心DAB边的中点解析取AB的中点D，则2，(1)(1)(12)，2(1)(12)，而1，P，C，D三点共线，点P的轨迹一定经过ABC的重心类型二平面向量与三角形的“外心”问题例2 设P是ABC所在平面内一点，若()2，且222，则点P是ABC的(A)A外心B内心C重心D垂心解析由()2，得(2)0，即()()0，所以()0.设D为AB的中点，则20，故0.由222，得()()2，即(2)0.设E为BC的中点，则(22)0，则20，故0.所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，所以P是ABC的外心故选A跟踪练习在ABC中，O为其外心，且 0，则边AC的长是_解析设ABC外接圆的
3、半径为R，O为ABC的外心，|R，又 0，则 ，3222 72，从而R2，又，所以R22，又|cosAOCR2cosAOC，cosAOC，AOC，在AOC中，由余弦定理得AC2OA2OC22OAOCcosAOCR2R22R2(2)R242所以AC1类型三平面向量与三角形的“垂心”问题例3 (2022济南质检)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，点P满足，则动点P的轨迹一定通过ABC的()A重心B外心C垂心D内心解析，(|)0，所以，动点P在BC的高线上，动点P的轨迹一定通过ABC的垂心，故选C类型四平面向量与三角形的“内心”问题例4 在ABC中，|3，|2，则直线AD通
4、过ABC的(D)A重心B外心C垂心D内心解析|3，|2，|.设，则|.，AD平分EAF，AD平分BAC，直线AD通过ABC的内心跟踪练习(2022海南模拟)在ABC中，AB5，AC6，cos A，O是ABC的内心，若xy，其中x，y0,1，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()AB C4D6解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为BOC的面积的2倍在ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2b2c22bccos A，得a7设ABC的内切圆的半径为r，则bcsin A(abc)r，解得r，所以SBOCar7故动点P
5、的轨迹所覆盖图形的面积为2SBOC二、三角形形状的判断在ABC中，若|，则ABC为等腰三角形；若0，则ABC为直角三角形；若0，0，且0，则ABC为锐角三角形；若|，则ABC为直角三角形；若()0，则ABC为等腰三角形例5 (2022驻马店质检)若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为(C)A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形解析由题意知()0.所以()()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故选C变式训练4(1)若P为ABC所在平面内一点若()()0，则动点P的轨迹必过ABC的垂心.若()(0)，则动点P的轨迹必过ABC的重心.若222，则动点P的轨迹必过ABC的外心.(2)已知非零向量与满足0且，则ABC为(D)A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形解析(1)由题意知0，APBC，动点P必过ABC的垂心；由题意知()2(M为BC中点)P、A、M共线，P必过ABC的重心；222()()()，即2()，(2)()0.以，为邻边的平行四边形的对角线互相垂直点P在线段AB的中垂线上，P必过ABC的外心(2)因为非零向量与满足0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC又cos BAC，所以BAC.所以ABC为等边三角形故选D