1、第6讲 解三角形 第6讲 解三角形 主干知识整合第6讲 主干知识整合 1正弦定理已知在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A、B、C 的对边，则 asinA bsinB csinC2R(R 为三角形外接圆的半径)2余弦定理已知在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A、B、C 的对边，则 a2b2c22bccosA，cosAb2c2a22bc，另外两个同样第6讲 主干知识整合 3面积公式已知在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A、B、C 的对边，则(1)三角形的面积等于底乘以高的12；(2)S12absinC12bcsinA12acsinBabc4R(其中 R 为该三角形外接圆的半径)；(3)
2、若三角形内切圆的半径是 r，则三角形的面积 S12(abc)r；(4)若 pabc2，则三角形的面积 S ppapbpc.4航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 要点热点探究第6讲 要点热点探究 探究点一 正余弦定理的应用例 1(1)2011北京卷 在ABC 中，若 b5，B4，sinA13，则 a_.(2)2011 四 川 卷 在 ABC 中，sin2Asin2B sin2C sinBsinC，则 A 的取值范围是()A.0，6B.6，C.0，3D.3，第6讲 要点热点探究(1)5 23 (2)C【解析】(1)由正弦定理有：asinA bsinB，即a13 522，得 a5 23.(
3、2)根据正弦定理有 a2b2c2bc，由余弦定理可知 a2b2c22bccosA，所以 b2c22bccosAb2c2bc，即有 cosA12，所以角 A 的取值范围为0，3，选择 C.【点评】解三角形依靠的就是正弦定理和余弦定理正弦定理解决的是已知三角形两边和一边的对角、三角两内角和其中一边两类问题，余弦定理解决的是已知三角形两边及其夹角、已知三角形三边的两类问题在解题中只要分析清楚了三角形中的已知元素，就可以选用这两个定理中的一个求解三角形中的未知元素本例的第二小题中的不等式看上去是角的正弦的一个不等式，实际上给出的是边的不等式，正弦定理在三角形的边角关系互化中起关键作用第6讲 要点热点探
4、究 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2b2 3bc，sinC2 3sinB，则角 A()A30B60C120D150 A【解析】根据正弦定理和 sinC2 3sinB，可得c2 3b，代入 a2b2 3bc，得 a 7b，根据余弦定理 cosAb2c2a22bcb212b27b22b2 3b 32，所以 A30.第6讲 要点热点探究 探究点二 函数的图象的分析判断例 2 2011山东卷 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知cosA2cosCcosB2cab.(1)求sinCsinA的值；(2)若 cosB14，b2，求ABC 的面积 S
5、.第6讲 要点热点探究【解答】(1)由正弦定理，设 asinA bsinBcsinCk，则2cab2ksinCksinAksinB2sinCsinAsinB，所以cosA2cosCcosB2sinCsinAsinB.即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，化简可得 sin(AB)2sin(BC)又 ABC，所以原等式可化为 sinC2sinA，因此sinCsinA2.(2)由sinCsinA2 得 c2a.由余弦定理 b2a2c22accosB 及 cosB14，b2，得 4a24a24a214，解得 a1，从而 c2.又因为 cosB14，且 0B.所以 sinB 1
6、54.因此 S12acsinB1212 154 154.第6讲 要点热点探究【点评】本题的难点是变换cosA2cosCcosB2cab时，变换方向的选取，即是把角的函数转化为边的关系，还是把边转化为角的三角函数，从已知式的结构上看，把其中三个内角的余弦转化为边的关系是较为复杂的，而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦，则是较为简单的，在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题 第6讲 要点热点探究 在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，
7、B，C 的对边，且 1ab 1ac3abc.(1)求角 A 的大小；(2)若cb12 3，a 15，求 b 的值 第6讲 要点热点探究【解答】(1)由题意abcab abcac 3，即 cab bac1，整理得：b2c2a2bc，由余弦定理 cosAb2c2a22bc12知，A3.(2)由正弦定理cbsinCsinBsinABsinBsinAcosBcosAsinBsinB，所以sinAtanBcosA32tanB1212 3，解得 tanB12，所以 sinB 55，由正弦定理得 basinBsinA 15 55322.第6讲 要点热点探究 探究点三 解三角形的实际应用例 3 如图 61，渔
8、政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东 40方向距渔政船甲 70 km 的 C 处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西 20方向的 B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置 C 处沿直线 AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在 B 处执行任务，渔政船甲航行 30 km 到达 D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在 B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船丙)，此时 B、D 两处相距 42 km，问渔政船乙要航行多少千米才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救？图 61第6讲 要点热点探究【分析
9、】即求线段 BC 的长度根据题意，在BCD 中，已知 BD，DC，因此只要求出BDC 的余弦值，即可根据余弦定理求出 BC.根据三角形的外角定理，BDCABD60，只要在ABD 中根据正弦定理求出ABD 的正弦值，然后根据同角三角函数关系求出其余弦值，再根据和角的余弦公式即可求出BDC 的余弦值【解答】设ABD，在ABD 中，AD30，BD42，BAD60，由正弦定理得：ADsinBDsinBAD，即 sinADBDsinBAD3042sin605 314.又ADBD，060，cos1sin21114，cosBDCcos(60)17.在BDC 中，由余弦定理得BC2DC2BD22DCBDcos
10、BDC4024228042cos(60)3844.BC62(km)答：渔政船乙要航行 62 千米才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救第6讲 要点热点探究 如图 62，某巡逻艇在 A 处发现在北偏东 45距 A 处8 海里处有一走私船，正沿南偏东 75的方向以 12 海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以 12 3海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船？并指出巡逻艇航行方向图 62 第6讲 要点热点探究【解答】设经过 t 小时在点 C 处刚好追上走私船，依题意：AC12 3t，BC12t，ABC120.在ABC 中，12 3tsin12012tsinBAC，所以
11、 sinBAC12，BAC30，所以 ABBC812t，解得 t23，所以最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东 75的方向航行 第6讲 规律技巧提炼 1使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的对角，一类已知一边和两个内角(实际就是已知三个内角)，其中第一个类型也可以根据余弦定理列出方程求出第三边，再求内角在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角2当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形的三个边和其中的一个内角3
12、正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三边和其中一个内角的余弦之间的关系规律技巧提炼第6讲 教师备用例题 教师备用例题备选理由：例 1 是考查以映射的观点看待函数以及函数的三要素，鉴于这个问题不是高考考查的重点，我们在正文中没有列入这个探究点，可用此题补充这个知识点；例 2 虽然是 2009 的高考试题，可这个题目是高考考查抽象和函数性质中较为深入的一个试题，试题具有较大的难度，其解法体现了解决一类抽象函数问题的基本方法；例 3，试图通过这个题提供一个解决区域内整点个数的一般方法第6讲 教师备用例题 例 1 如图，在海岛 A 上有一座海拔 1 km 的山峰，山顶
13、设有一个观察站 P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午 1100时，测得此船在岛北偏东 15、俯角为 30的 B 处，到 1110 时，又测得该船在岛北偏西 45、俯角为 60的 C 处(1)求船的航行速度；(2)求船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离第6讲 教师备用例题【解答】(1)设船速为 x km/h，则 BCx6 km.在 RtPAB 中，PBA 与俯角相等为 30，AB1tan30 3.同理，RtPCA 中，AC1tan60 33.在ACB 中，CAB154560，由余弦定理得 BC 323322 3 33 cos60 213，x6 213 2 21 km/h
14、，船的航行速度为 221 km/h.【分析】(1)只要求出 BC 的长度即可根据已知的俯角和山峰的高度可以求出 AB，AC 的长度，根据方位角的变化可以求出BAC，在ABC 中使用余弦定理即可；(2)根据立体几何知识，只要过点 A 作 BC 的垂线，则垂足与点 P 的连线的长度就是点 P 到直线 BC 的距离，也就是船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离第6讲 教师备用例题(2)(方法一)作 ADBC 于点 D，当船行驶到点 D 时，AD 最小，从而 PD 最小此时，ADABACsin60BC3 33 32213 314 7.PD1314 7 2 25914.船在行驶过程中与观察
15、站 P 的最短距离为 25914km.第6讲 教师备用例题(方法二)由(1)知在ACB 中，由正弦定理ACsinABC BCsin60，sinABC33 32213 2114.作 ADBC 于点 D，当船行驶到点 D 时，AD 最小，从而 PD 最小此时，ADABsinABC 3 2114 314 7.PD1314 7 2 25914.船在行驶过程中与观察站 P 的最短距离为25914 km.第6讲 教师备用例题 例 2 如图，一人在 C 地看到建筑物 A 在正北方向，另一建筑物 B 在北偏西 45方向，此人向北偏西 75方向前进 30 km 到达 D，看到 A 在他的北偏东 45方向，B 在
16、他的北偏东 75方向，试求这两座建筑物 AB 之间的距离【分析】在BDC 中，使用正弦定理求 BC，在ADC 中使用正弦定理求 AC，在ABC 中使用余弦定理求 AB.第6讲 教师备用例题【解答】依题意得，DC 30，ADBBCD30BDC，DBC120，ADC60，DAC45.在BDC 中，由正弦定理可得，BCDCsinBDCsinDBC 30sin30sin120 10.在ADC 中，由正弦定理可得，ACDCsinADCsinDAC 30sin60sin453 5.在ABC 中，由余弦定理可得，AB2AC2BC22ACBCcosACB(3 5)2(10)223 5 10cos4525，AB5.答：这两座建筑物 AB 之间的距离为 5 km.第6讲 教师备用例题