1、第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系A组1(2009年高考天津卷)若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦的长为2，则a_.解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y，如图，由已知|AC|，|OA|2，有|OC|1，a1.答案：12(2009年高考全国卷)已知圆O：x2y25和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：依题意，过A(1,2)作圆x2y25的切线方程为x2y5，在x轴上的截距为5，在y轴上的截距为，切线与坐标轴围成的三角形面积S5.答案：3(2009年高考湖北卷)过原点O作圆x2y26x8y200的两条切线，设切点分别为P、Q，则线
2、段PQ的长为_解析：圆的标准方程为(x3)2(y4)25，可知圆心为(3,4)，半径为.如图可知，|CO|5，OP2.tanPOC.在RtPOC中，OCPMOPPC，PM2.PQ2PM4.答案：44若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点，则实数m的取值范围是_解析：将圆x2y22x4y40化为标准方程，得(x1)2(y2)21，圆心为(1，2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d1，m10.答案：(，0)(10，)5(原创题)已知直线xy2m0与圆x2y2n2相切，其中m，nN*，且nm5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有_个解析：由题意可得，圆心
3、到直线的距离等于圆的半径，即2m1n，所以2m1m5，因为m，nN*，所以，故有序实数对(m，n)共有4个答案：4个6(2010年南京调研)已知：以点C(t，)(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程解：(1)证明：圆C过原点O，OC2t2.设圆C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t.SOABOAOB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN.kMN2，kO C，直线OC的方程是yx
4、.t，解得：t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC，此时圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意舍去圆C的方程为(x2)2(y1)25.B组1直线axbyba0与圆x2y2x30的位置关系是_解析：直线方程化为a(x1)b(y1)0，过定点(1，1)，代入圆的方程，左侧小于0，则定点在圆内，所以直线与圆总相交答案：相交2(2010年秦州质检)已知直线yx与圆x2y22相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点，则APB_.解析：弦心距长为，半径为，所以弦AB所对的圆心角为，又因为同弦所对的圆周角是圆心角的一半，所以APB.答案：3已知向量a(cos，s
5、in)，b(cos，sin)，a与b的夹角为60，直线xcosysin0与圆(xcos)2(ysin)2的位置关系是_解析：cos60coscossinsincos()，d|cos()|r.答案：相离4过点A(11,2)作圆x2y22x4y1640的弦，其中弦长为整数的共有_条解析：方程化为(x1)2(y2)2132，圆心为(1,2)，到点A(11,2)的距离为12，最短弦长为10，最长弦长为26，所以所求直线条数为22(2510)32(条)答案：325若集合A(x，y)|y1，B(x，y)|yk(x2)4当集合AB有4个子集时，实数k的取值范围是_解析：AB有4个子集，即AB有2个元素，半圆
6、x2(y1)24(y1)与过P(2,4)点，斜率为k的直线有两个交点，如图：A(2,1)，kPA，过P与半圆相切时，k，k.答案：k6(2009年高考全国卷)已知AC、BD为圆O：x2y24的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，)，则四边形ABCD的面积的最大值为_解析：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12d22OM23.四边形ABCD的面积S|AB|CD|28(d12d22)5.7(2010年宁波调研)已知圆C：x2y2bxay30(a、b为正实数)上任意一点关于直线l：xy20的对称点都在圆C上，则的最小值为_解析：由题意，知圆心在直线上，所以()20，1，则()()112 1
7、.8设圆O：x2y2，直线l：x3y80，点Al，使得圆O上存在点B，且OAB30(O为坐标原点)，则点A的横坐标的取值范围是_解析：依题意点Al，设A(x0，)过点A作圆O的切线，切点为M，则OAMOAB30.从而sinOAMsin30，即sin30，就是|OA|24(|OM|2)，x02()2，5x028x00，解得x00，答案：0，9(2009年高考江西卷)设直线系M：xcos(y2)sin1(02)，对于下列四个命题：A存在一个圆与所有直线相交B存在一个圆与所有直线不相交C存在一个圆与所有直线相切DM中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号)解析：
8、xcosysin2sin10.则点(0,2)到其直线的距离为d1.说明此直线是圆心为(0,2)，半径为1的圆的切线圆心为(0,2)，半径大于等于1的圆与所有直线相交，A对；圆心为(0,2)，半径小于1的圆与所有直线不相交，B对；圆心为(0,2)，半径等于1的圆与所有直线都相切，C对；因为M中的直线与以(0,2)为圆心，半径为1的圆相切，所以M中的直线所能围成的正三角形面积不都相等如图ABC与ADE均为等边三角形而面积不等答案：A、B、C10已知圆C1：x2y22x2y80与圆C2：x2y22x10y240相交于A、B两点，(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线yx上，且经过A、B
9、两点的圆的方程解：(1)x2y40.(2)由(1)得x2y4，代入x2y22x2y80中得：y22y0.或，即A(4,0)，B(0,2)，又圆心在直线yx上，设圆心为M(x，x)，则|MA|MB|，解得M(3,3)，M：(x3)2(y3)210.11(2010年江苏徐州调研)已知圆C的方程为x2y21，直线l1过定点A(3,0)，且与圆C相切(1)求直线l1的方程；(2)设圆C与x轴交于P、Q两点，M是圆C上异于P、Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P，直线QM交直线l2于点Q.求证：以PQ为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标解：(1)直线l1过点A(3,0)
10、，且与圆C：x2y21相切，设直线l1的方程为yk(x3)，即kxy3k0，则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d1，解得k，直线l1的方程为y(x3)(2)对于圆C：x2y21，令y0，则x1，即P(1,0)，Q(1,0)又直线l2过点A且与x轴垂直，直线l2方程为x3.设M(s，t)，则直线PM的方程为y(x1)解方程组得P(3，)同理可得Q(3，)以PQ为直径的圆C的方程为(x3)(x3)(y)(y)0，又s2t21，整理得(x2y26x1)y0，若圆C经过定点，只需令y0，从而有x26x10，解得x32，圆C总经过定点，定点坐标为(32，0)12(2009年高考江苏卷)如图在平面直角坐
11、标系xOy中，已知圆C1：(x3)2(y1)24和圆C2：(x4)2(y5)24.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标解：(1)由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，所以d1.由点到直线的距离公式得d，从而k(24k7)0，即k0或k，所以直线l的方程为y0或7x24y280.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为ybk(xa)，k0，则直线l2的方程为yb(xa)因为圆C1和圆C2的半径相等，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即，整理得|13kakb|5k4abk|，从而13kakb5k4abk或13kakb5k4abk，即(ab2)kba3或(ab8)kab5，因为k的取值有无穷多个，所以或解得或这样点P只可能是点P1(，)或点P2(，)经检验点P1和P2满足题目条件.w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u