1、2023届高考复习微专题离心率（学生版）圆锥曲线是历年高考必考知识点，而离心率问题是圆锥曲线中的热点问题，主要涉及到离心率的求值和取值范围，这类问题往往是多数学生的薄弱环节。本文主要总结了椭圆离心率的求解方法、椭圆离心率取值范围的求解、双曲线离心率的求解方法、双曲线离心率取值范围的求解四个问题，并整理了近几年来的高考真题和模拟题供大家参考和练习。一、椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e求解.(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e
2、.例1 (2022淮北质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点若PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.1 B. C. D.1跟踪练习1、(2022宿州质检)已知椭圆C的方程为1(ab0)，焦距为2c，直线l：yx与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|2c，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.2、(2021重庆诊断)已知椭圆C：16x24y21，则下列结论正确的是()A.长轴长为 B.焦距为C.短轴长为 D.离心率为3、(2018课标全国)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F160，则C的
3、离心率为()A1B2CD14、(2021河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()ABCD5、(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()ABCD6、若椭圆C：1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.7、(2021云南昆明模拟)ABC为等腰三角形，且C90，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为()ABC1D18、已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，过点F作圆x2y2b2的切线，若两条切线互
4、相垂直，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.9、(2021湖北省宜昌市调研)过点P(3,1)且倾斜角为的直线与椭圆1(ab0)相交于A，B两点，若，则该椭圆的离心率为()ABCD10、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A. B. C. D.11、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A B C D12、设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F
5、1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点若PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A1BCD113、(2022青岛质检)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为()ABCD14、(2022晋中新一双语学校模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：1)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若2，则()A2 B
6、. C. D215、(多选)已知P是椭圆E：1(m0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k20)，若|k1|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A椭圆E的方程为y21B椭圆E的离心率为C曲线ylog3x经过E的一个焦点D直线2xy20与E有两个公共点16、已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为_.17、直线5x4y10交椭圆C：1(ab0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为_18、设椭圆C：1(ab
7、0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_.19、(2021浙江高考)已知椭圆1(ab0)，焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)若过F1的直线和圆2y2c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2x轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_20、(2022安徽省蚌埠市二模)通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F1(如图所示)，如图是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于AD的中点处时，则在平面A1B
8、1C1D1上的投影形成的椭圆的离心率是_21、如图所示，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；22、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.23、(2022青岛调研)已知椭圆E：1(ab0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x1
9、)2(y1)25的一条直径，求椭圆E的标准方程.二、椭圆离心率取值范围的求解方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)几何法：利用椭圆的几何性质，如|x|a，|y|b,0eb0)的两个焦点为F1(c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足0.则椭圆离心率e的取值范围为()A. B. C. D.跟踪练习1、(2022广东华附、省实、广雅、深中联考)设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A. B.C. D.2、在平面直角坐标系xOy中，点P
10、为椭圆C：1(ab0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，为直线ON的倾斜角，若，则椭圆C的离心率的取值范围为()A. B.C. D.3、(2021全国高考)设B是椭圆C：1(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是()A B C D 4、已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()AB CD5、过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与l存
11、在公共点，则C的离心率的取值范围是()ABCD6、明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆已知图、中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，设图、中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则()Ae1e3e2Be2e3e1Ce1e2e3De2e1e37、过椭圆C：1(ab0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.8、(2021高考全国卷乙)设B是椭圆C：1(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|P
12、B|2b，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.9、已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点.若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B. C. D.10、已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P，使，该椭圆的离心率的取值范围为_11、(2021山西怀仁期末)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且F1PF260，则椭圆离心率的取值范围 .三、双曲线离心率的求解方法求双曲线的离心率，常见的有三种方法：(1)直接法：由题设条件求
13、出a，c，从而得e.(2)等价转化法：由e或e等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e.(3)列出含有a，b，c的齐次方程，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程求解例3 (2022安徽皖南名校联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为()A. B.C2 D.跟踪练习1、(2022淮北二模)已知双曲线C：1(a0，b0)，左顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为，则C的离心率为_2、(2021高考全国卷甲)已知F1，F2
14、是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为()A.B.C. D.3、设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.4、已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.5、(2021山东、湖北重点中学联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线的斜率之积等于4，则双曲线C的离心率为()ABCD6、(2021
15、江苏无锡质检)若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线被圆x2y24y20所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为()ABC2D7、(2022山东滨州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5，0)，F2(5，0)，则不能使双曲线C的方程为1的条件是()A双曲线的离心率为 B双曲线过点C双曲线的渐近线方程为3x4y0 D双曲线的实轴长为48、已知离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，则双曲线的实轴长是()A32 B16C84 D49、(2019全国)已知双曲线C：1(a0，b
16、0)，过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为()A1B2CD10、(2018新课标)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|OP|，则C的离心率为()AB2CD11、(2022广西贵港联考)已知M为双曲线C：1(a0，b0)左支上一点，A，F分别为双曲线C的右顶点和左焦点，|MA|FA|，若MFA60，则双曲线C的离心率为()AB4C2D612、(2021天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点与抛物线y22px(p0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于
17、A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD|AB|.则双曲线的离心率为()ABC2D313、双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为y2x，则该双曲线的离心率为()A.5 B. C. D.14、已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.15、已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|2|MF2|，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.16、(2019全国卷，1
18、2)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()ABC2D17、(2021山西阳泉期末)双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F1作斜率为1的直线交y轴于点A，交双曲线右支于点B，若，则该双曲线的离心率是()AB2CD118、(2021安徽省安庆一中模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A(1,2)B(1,2C(2，)D2，)19、设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，
19、以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点.若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C.2 D.20、(多选)已知椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C1的上顶点为M，且0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点若F1PF2，则下列各项正确的是()A2Be1e2CeeDee121、如图，F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右两个焦点，若直线yx与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为_22、 (2019新课标)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为
20、F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_.23、(2021河北衡水中学调研)已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率是_.24、过双曲线1(a0，b0)的右焦点 F作垂直于 x轴的直线，交双曲线于 A, B两点， O为坐标原点，若OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e_25、如图，F1和F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_.26、已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条
21、渐近线交于M，N两点.若MAN60，则C的离心率为_.27、已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，求C的离心率四、双曲线离心率取值范围的求解方法列出含有a，b，c的齐次不等式，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的不等式求解例4 (2022临川一中模拟)已知双曲线1(a0，b0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i1，2)，使得0，则双曲线离心率的取值范围是_跟踪练习1、(2022合肥市名校联考)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，
22、点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A. B.C2 D.2、(2021河北邯郸模拟)设双曲线C：1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|a|PF1|，则C的离心率的取值范围是()A(1，)B(，)C(1,1D1，)3、(2021河北省衡水中学调研)已知点F是双曲线1(a0，b0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若AEB是钝角，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，)B(1,1)C(2，)D(2,1)4、(2021天津南开区期末)已知双曲线
23、1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为()ABC2D5、(2021四川广元、山西孝义模拟)已知双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作圆O：x2y2a2的切线，切点为T，延长F2T交双曲线E的左支于点P，若|PF2|2|TF2|，则双曲线E的离心率的取值范围是()A(2，)B(，)C(，)D(2，)6、(2022石家庄模拟)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(
24、)A.(1，) B.(1，2)C.(1，1) D.(2，1)7、已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,2B2，) C(1，D，)8、已知F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sinPF2F13sinPF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为()A(1,2)B(1,3) C(3，)D(2,3)9、(2021长沙模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且F1AF2，则该双曲线离心率
25、的取值范围为_.10、(2022湖北七市(州)联考)已知双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围是_.11、已知双曲线C：1(a0，b0)的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，|PF|PO|2a，则双曲线C的离心率的取值范围是_12、在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线ykx交双曲线C于M，N两点(1)若M(2,3)，四边形MF1NF2的面积为12，求双曲线C的方程；(2)若k，且四边形MF1NF2是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围2023届高考复习微专
26、题离心率（解析版）一、椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：(1)直接求出a，c，利用离心率公式e求解.(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e求解.(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.例1 (2022淮北质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点若PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.1 B. C. D.1解析：不妨设椭圆E的方程为1(ab0)，如图所示，因为PF1F2为直角三角形，所以PF1F1F2，又|PF1|F1F2|2c，所以|PF2|2c
27、，所以|PF1|PF2|2c2c2a，所以椭圆E的离心率e1.故选A.跟踪练习1、(2022宿州质检)已知椭圆C的方程为1(ab0)，焦距为2c，直线l：yx与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|2c，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.解析：选A.设直线与椭圆在第一象限的交点为A(x，y)，则直线yx.由|AB|2c，可知|OA|c，即c，解得x，yc，即A(c，c)，把点A的坐标代入椭圆方程，得8e418e290，即(4e23)(2e23)0，所以e.2、(2021重庆诊断)已知椭圆C：16x24y21，则下列结论正确的是(D)A.长轴长为 B.焦距为C.短轴长为 D.离心率为3、(
28、2018课标全国)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为(D)A1B2CD1解析：设|PF2|x，则|PF1|x，|F1F2|2x，故2a|PF1|PF2|(1)x,2c|F1F2|2x，于是离心率e1.4、(2021河北省衡水中学调研)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(B)ABCD解析：不妨设直线l：1，即bxcybc0椭圆中心到l的距离e，故选B5、(2017全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则
29、C的离心率为(A)ABCD解析：由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离da，解得ab，e.故选A6、若椭圆C：1(ab0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析：依题意可知，cb，又ac，椭圆的离心率e.7、(2021云南昆明模拟)ABC为等腰三角形，且C90，则以A，C为焦点且过点B的椭圆的离心率为(D)ABC1D1解析：由题意ABC为等腰三角形，且C90，可知：ABC是等腰直角三角形，且：BC2c，AC2c，AB2c，由椭圆的定义可知：2c2c2a，则椭圆的离心率：e1.故选D8、已知椭圆C：1(
30、ab0)的右焦点为F，过点F作圆x2y2b2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.解析：如图，由题意可得，bc，则2b2c2，即2(a2c2)c2，则2a23c2，即e.9、(2021湖北省宜昌市调研)过点P(3,1)且倾斜角为的直线与椭圆1(ab0)相交于A，B两点，若，则该椭圆的离心率为(C)ABCD解析：由题意可知P为AB的中点，且kAB1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减得，kAB1，即，e，故选C10、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2
31、P120，则C的离心率为()A. B. C. D.解析：如图，作PBx轴于点B.由题意可设|F1F2|PF2|2，则c1，由F1F2P120，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tanPAB，解得a4，所以e.11、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A B C D解析：如图，作PBx轴于点B由题意可设|F1F2|PF2|2，则c1，由F1F2P120，可得|PB|，|BF2|1，故|AB|a11a2，tanPAB，解得a4，所以e12、设椭圆E的两焦点分别为F1
32、，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点若PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A1BCD1解析：不妨设椭圆E的方程为1(ab0)，如图所示，PF1F2为直角三角形，PF1F1F2，又|PF1|F1F2|2c，|PF2|2c，|PF1|PF2|2c2c2a，椭圆E的离心率e1故选A13、(2022青岛质检)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为()ABCD解析：设内层椭圆方
33、程为1(ab0)，内外椭圆离心率相同，外层椭圆可设成1(m1)，设切线AC的方程为yk1(xma)，与1联立得：(b2a2k)x22ma3kxm2a4ka2b20，由0, 则k，同理可得k(m21)，kk2, 则，因此，e故选D14、(2022晋中新一双语学校模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：1)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若2，则()A2 B. C. D2解析：选D. 如图，设m，n，焦距为2c，由椭圆定义可得mn2a，由双曲线定义可得mn2a1，解得maa1，naa1.当2时
34、，则F1MF290，所以m2n24c2，即a2a2c2，由离心率的公式可得2.15、(多选)已知P是椭圆E：1(m0)上任意一点，M，N是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM，PN的斜率分别为k1，k2(k1k20)，若|k1|k2|的最小值为1，则下列结论正确的是()A椭圆E的方程为y21B椭圆E的离心率为C曲线ylog3x经过E的一个焦点D直线2xy20与E有两个公共点解析：设P(x0，y0)，M(x1，y1)，x0x1，y0y1，则N(x1，y1)，1，1，所以ym，ym，k1k2于是|k1|k2|222，依题意，得1，解得m1，故E的方程为y21，A正确；离心率为，B错误；焦点坐标
35、为(，0)，曲线ylog3x经过焦点(，0)，C正确；又直线2xy20过点(1,0)，且点(1,0)在E内，故直线2xy20与E有两个公共点，D正确故选A、C、D16、已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为_.解析：以线段A1A2为直径的圆是x2y2a2，直线bxay2ab0与圆相切，所以圆心(0，0)到直线的距离da，整理为a23b2，即a23(a2c2)2a23c2，即，e.17、直线5x4y10交椭圆C：1(ab0)于M，N两点，设MN中点为P，直线OP的斜率等于，O为坐标原点，则椭圆C的离心率为_解析：
36、设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为P(x0，y0)，则两式相减得b2(yy)a2(xx)0，即，即kMN，因为kMN，kOP，所以，所以e18、设椭圆C：1(ab0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心率等于_.解析：由题意知F1(c，0)，F2(c，0)，其中c，因为过F2且与x轴垂直的直线为xc，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.因为AB平行于y轴，且|F1O|OF2|，所以|F1D|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又ADF1B，所以kADkF1B1，即1，整理得b22
37、ac，所以(a2c2)2ac，又e，0e1，所以e22e0，解得e(e舍去).19、(2021浙江高考)已知椭圆1(ab0)，焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)若过F1的直线和圆2y2c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2x轴，则该直线的斜率是_，椭圆的离心率是_解析：设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A，则|AM|c，|AF1|c，所以|MF1|c，所以该直线的斜率k因为PF2x轴，所以|PF2|，又|F1F2|2c，所以k，得e20、(2022安徽省蚌埠市二模)通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F1(如图所示)，如图是底面
38、边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱柱的下底面及四个侧面均相切，若点光源P位于AD的中点处时，则在平面A1B1C1D1上的投影形成的椭圆的离心率是_解析：从P作PMA1D1于M点，在平面POM内作球截面圆的切线PN，交平面A1B1C1D1于N点，则在平面POM内形成的图形如图所示由题意得PM3，OQMF1MQ1，故PQ2，tanQPOtanMPN，则MNPMtanMPN34，根据题目条件知，F1是椭圆焦点，MN是长轴，即2a4，MF1ac1，则a2，c1，离心率e.21、如图所示，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(
39、1)若F1AB90，求椭圆的离心率；解析：(1)|AF1|AF2|a，且F1AF290，|F1F2|2c，2a24c2，ac，e.22、已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.解：(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|1
40、6，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，).23、(2022青岛调研)已知椭圆E：1(ab0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x1)2(y1)25的一条直径，求椭圆E的标准方程.解：(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得1，即a23b2，a23b23(a2c2)，2a23c2，e.(2)由(1)得椭圆E
41、的方程为1，易知直线l的斜率存在，设其方程为yk(x1)1，A(x1，y1)，B(x2，y2).(3k21)x26k(k1)x3(k1)23b20.x1x2，x1x2.又x1x22，k，x1x2，则|AB|2，b2，则a210，椭圆E的标准方程为1.二、椭圆离心率取值范围的求解方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：(1)几何法：利用椭圆的几何性质，如|x|a，|y|b,0eb0)的两个焦点为F1(c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且满足0.则椭圆离心率e的取值范围为()A. B. C. D.解析：设点M的坐标为(x0，y0)
42、，0，F1(c，0)，F2(c，0)，(x0c)(x0c)y0，即xyc2.又知点M在椭圆G上，1，由联立结合a2b2c2解得x，由椭圆的性质可得0xa2，即即所以c2b2，又知b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2，解得e2，又知0e1，eb0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，为直线ON的倾斜角，若，则椭圆C的离心率的取值范围为()A. B.C. D.解析：因为OPMN是平行四边形，所以MNOP且MNOP，故yN，代入椭圆方程可得xN，所以kONtan .又，所以1，所以ab，a23(a2c2)，解得0b0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心
43、率的取值范围是(C)A B C D 解析：设P，由B，因为1，a2b2c2，所以2x2a222a2b2，因为by0b，当b，即b2c2时，4b2，即max2b，符合题意，由b2c2可得a22c2，即0b，即b2b0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是()ABCD解析：由题设知，直线l：1，即bxcybc0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将xc代入椭圆C的方程，得y，即圆的半径r又圆与直线l有公共点，所以，化简得2cb，平方整理得a25c2，所以e又0e1，所以0b0)的上顶点，若C上的任意
44、一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C.依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|b，1，可得xa2y，则|PB|2x(y0b)2xy2by0b2y2by0a2b24b2.因为当y0b时，|PB|24b2，所以b，得2c2a2，所以离心率e，故选C.9、已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点.若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B. C. D.解析：设左焦点F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.|AF|B
45、F|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则，1b2.离心率e.10、已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在一点P，使，该椭圆的离心率的取值范围为_解析：在PF1F2中，由正弦定理，得.因为，所以.由椭圆定义，知|PF1|PF2|2a，则|PF2|PF2|2a，即|PF2|.由椭圆的几何性质，知|PF2|ac，则ac，即c22aca20，所以e22e10，解得e1或e1.又e(0，1)，所以e(1，1)11、(2021山西怀仁期末)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且F1PF260，则椭圆离心率的取值范围_.解析：由题意可知当
46、P为椭圆短轴端点时OPF1OPF230，即，即cb，3c2a2c2，即e，又0e1，e0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，其右支上存在一点M，使得0，直线MF2平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线C的离心率为()A. B.C2 D.解析：选D.由0，得MF1MF2.不妨设直线MF2平行于双曲线的渐近线l：bxay0，如图所示，从而得l是线段MF1的垂直平分线，且直线MF1的方程为y(xc)设MF1与l相交于点N(x，y)，由得即N.又F1(c，0)，由中点坐标公式，得M，将点M的坐标代入1，得1，化简得c25a2，则离心率e.跟踪练习1、(2022淮北二模)已知双曲线C：1(a0，b0)，左
47、顶点为A，右焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与双曲线C在第一象限内的交点为B，且直线AB的斜率为，则C的离心率为_解析：把xc代入双曲线：1(a0，b0)得y，所以B，又A(a，0)，直线AB的斜率为，所以，可得a2ac2c22a2，即2c23a2ac0，即2e23e0，因为e1，所以e.2、(2021高考全国卷甲)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为()A.B.C. D.解析：设|PF2|m，|PF1|3m，则|F1F2|m，所以C的离心率e.3、设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆
48、x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.解析：依题意，记F(c，0)，则以OF为直径的圆的方程为y2，将圆y2与圆x2y2a2的方程相减得cxa2，即x，所以点P，Q的横坐标均为.由于PQ是圆x2y2a2的一条弦，因此a2，即a2，即a2，所以c22ab，即a2b22ab(ab)20，所以ab，因此C的离心率e，故选A.4、已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.解析：选D.由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x1
49、，双曲线的渐近线方程为yx.将x1代入yx，得y，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|4|OF|可得4，即b2a，b24a2，故双曲线的离心率e .5、(2021山东、湖北重点中学联考)已知双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线的斜率之积等于4，则双曲线C的离心率为(A)ABCD解析：因为双曲线C的渐近线方程为yx，所以4，即a2b，所以cb，所以e.故选A6、(2021江苏无锡质检)若双曲线1(a0，b0)的一条渐近线被圆x2y24y20所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为(C)ABC2D解析：圆x2y24y20的圆心为(0,2)，半径为，由题意知圆心到渐近线bxay0的距离为1，
50、即1，e2，故选C7、(2022山东滨州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1(5，0)，F2(5，0)，则不能使双曲线C的方程为1的条件是()A双曲线的离心率为 B双曲线过点C双曲线的渐近线方程为3x4y0 D双曲线的实轴长为4解析：选D.由题意可得焦点在x轴上，且c5，A选项，若双曲线的离心率为，则a4，所以b2c2a29，此时双曲线的方程为1，故A正确；B选项，若双曲线过点，则得此时双曲线的方程为1，故B正确；C选项，若双曲线的渐近线方程为3x4y0，可设双曲线的方程为m(m0)，所以c216m9m25，解得m1，所以此时双曲线的方程为1，故C正确；D选项，若双曲线的
51、实轴长为4，则a2，所以b2c2a221，此时双曲线的方程为1，故D错误故选D.8、已知离心率为的双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OMMF2，O为坐标原点，若SOMF216，则双曲线的实轴长是()A32 B16C84 D4解析：选B.由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线yx上，由题意可知|F2M|b，所以|OM|a.由SOMF216，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.9、(2019全国)已知双曲线C：1(a0，b0)，过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M，N两点，
52、若以MN为直径的圆经过C的右焦点，则C的离心率为(A)A1B2CD解析：设双曲线C：1(a0，b0)的左焦点为F1，右焦点为F2，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，|F1M|F1F2|，2c，c2a22ac，e22e10，e1，e1，e1，故选A10、(2018新课标)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|OP|，则C的离心率为(C)AB2CD解析：点F2(c,0)到渐近线yx的距离|PF2|b(b0)，而|OF2|c，所以在RtOPF2中，由勾股定理可得|OP|a，所以|PF1|OP|a.在RtOPF2中，
53、cosPF2O，在F1F2P中，cosPF2O，所以3b24c26a2，则有3(c2a2) 4c26a2，解得(负值舍去)即e.故选C11、(2022广西贵港联考)已知M为双曲线C：1(a0，b0)左支上一点，A，F分别为双曲线C的右顶点和左焦点，|MA|FA|，若MFA60，则双曲线C的离心率为(B)AB4C2D6解析：设双曲线的右焦点为F，由题意知MFA为等边三角形，且|MF|MA|AF|ac，由双曲线的定义知，|MF|MF|2a3ac，在MFF中，由余弦定理得，cosMFF，化简，得c23ac4a20，所以e23e40，解得e4或e1(舍)故选B12、(2021天津高考)已知双曲线1(a
54、0，b0)的右焦点与抛物线y22px(p0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若|CD|AB|.则双曲线的离心率为(A)ABC2D3解析：设双曲线1(a0，b0)与抛物线y22px(p0)的公共焦点为(c,0)，则抛物线y22px(p0)的准线为xc，令xc，则1，解得y，所以|AB|，又因为双曲线的渐近线方程为yx，所以|CD|，所以，即cb，所以a2c2b2c2，所以双曲线的离心率e，故选A13、双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为y2x，则该双曲线的离心率为()A.5 B. C. D.解析：由双曲线的渐近线方程为y2x，可知2，即b2a.又c2a
55、2b2a24a25a2，所以e25，即e.14、已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.解析：由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx.将x1代入yx，得y，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|4|OF|可得4，即b2a，b24a2，故双曲线的离心率e.15、已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|2|MF2|，则双曲线C的离心率
56、为()A. B. C. D.解析：不妨设渐近线l的方程为yx，则点M在第四象限，由双曲线的定义知|MF1|MF2|2a，又|MF1|2|MF2|，所以|MF1|4a，|MF2|2a.设过点F2且与l平行的直线的倾斜角为，则tan ，所以cos ，所以cosF1F2M.在F1F2M中，由余弦定理cosF1F2M，得，整理得c25a2，即ca，所以e.16、(2019全国卷，12)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为(A)ABC2D解析：如图，连接OP，|PQ|OF|c，PQ过圆心易得P.又|OP|a
57、，a222，22，e.故选A17、(2021山西阳泉期末)双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F1作斜率为1的直线交y轴于点A，交双曲线右支于点B，若，则该双曲线的离心率是(D)AB2CD1解析：由题意知直线方程为yxc，且A(0，c)，又A、O分别为F1B、F1F2的中点，BF2綊2OA，B(c,2c)，1，整理得b22ac，即c22aca20，又e，e22e10，e1或1(舍去)故选D18、(2021安徽省安庆一中模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(D)A(1,2)B(1,
58、2C(2，)D2，)解析：由题意可知tan 60，e 2，故选D19、设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点.若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C.2 D.解析：设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0).则c，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，则|OP|a，|OM|MP|.在RtOPM中，|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，即e.20、(多选)已知椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1，椭圆C
59、1的上顶点为M，且0，双曲线C2和椭圆C1有相同焦点，且双曲线C2的离心率为e2，P为曲线C1与C2的一个公共点若F1PF2，则下列各项正确的是(BD)A2Be1e2CeeDee1解析：因为0且|，所以MF1F2为等腰直角三角形设椭圆的半焦距为c，则cba，所以e1在三角形PF1F2中，F1PF2，设PF1x，PF2y，双曲线C2的实半轴长为a，则故xyc2，故(xy)2x2y2xyxy，所以(a)2，即e2，故，e1e2，ee2，ee1，故选B、D21、如图，F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右两个焦点，若直线yx与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心
60、率为_解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线yx代入双曲线C的方程，可得x ，所以c，所以2a2b2c2(b2a2)，即2(e21)e42e2，所以e44e220.因为e1，所以e22，所以e.23、 (2019新课标)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_2_.解析：如图，.A为F1B的中点，且O为F1F2的中点，AO为F1F2B的中位线，又0，F1BF2B，则|OB|F1O|c.设B(x1，y1)，A(x2，y2)，点B在渐近线yx上，得，又A为F1B的中点，A在渐近线yx上，得c2a，则双曲
61、线的离心率e2.23、(2021河北衡水中学调研)已知m是2与8的等比中项，则圆锥曲线x21的离心率是_或_.解析：由题意知m216，m4，当m4时，圆锥曲线方程为x21，a24，b21，故c，e.当m4时，圆锥曲线方程为x21，a21，b24，故c，e.24、过双曲线1(a0，b0)的右焦点 F作垂直于 x轴的直线，交双曲线于 A, B两点， O为坐标原点，若OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e_解析：若OAB为等腰直角三角形，依结论1可得c，即acc2a2，可得e2e10，e1，解得e25、如图，F1和F2分别是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径
62、的圆与该双曲线左支的两个交点，且F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为_.解析：设|F1F2|2c，连接AF1(图略)，F2AB是等边三角形，且F1F2是O的直径，AF2F130，F1AF290，|AF1|c，|AF2|c，2acc，e1.26、已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若MAN60，则C的离心率为_.解析：如图，点M，N所在的渐近线为aybx0，圆A的圆心A(a，0)到渐近线的距离d，又M，N均为圆A上的点，|AM|AN|b，又MAN60，MAN为等边三角形，在MAN内，A到边MN的距离为d|AM|si
63、n 60b，有b，解得a23b2，3c24a2，e.27、已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，求C的离心率解：设B(c，yB)，因为B为双曲线C：1上的点，所以1，所以y因为AB的斜率为3，所以yB，3，所以b23ac3a2，所以c2a23ac3a2，所以c23ac2a20，解得ca(舍去)或c2a，所以C的离心率e2四、双曲线离心率取值范围的求解方法列出含有a，b，c的齐次不等式，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的不等式求解例4 (2022临川一中模拟)已知双曲线1(a0，b0)中，A1，A2是左、右顶点，F是
64、右焦点，B是虚轴的上端点若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i1，2)，使得0，则双曲线离心率的取值范围是_解析：设c为半焦距，则F(c，0)，又B(0，b)，所以BF：bxcybc0，以A1A2为直径的圆的方程为O：x2y2a2，因为0，i1，2，所以O与线段BF有两个交点(不含端点)，所以即故解得e0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A. B.C2 D.解析：设P(xP，yP)，则双曲线的焦半径|PF1|exPa，|PF2|exPa，由|PF1|4|PF2|可得exPa4(exPa)，即3exP
65、5a，所以xP.由于点P在双曲线的右支上，则xPa，从而e，即此双曲线的离心率e的最大值为.2、(2021河北邯郸模拟)设双曲线C：1(a0，b0)的焦距为2c(c0)，左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|a|PF1|，则C的离心率的取值范围是(C)A(1，)B(，)C(1,1D1，)解析：|PF1|PF2|2a，|PF2|PF1|2a，c(|PF1|2a)a|PF1|，|PF1|，又|PF1|ac，ca，整理得e22e10，解得1e1，又e1，10，b0)的右焦点，点E是该双曲线的左顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若AEB是钝角，则该双曲线的离心率
66、e的取值范围是(C)A(1，)B(1,1)C(2，)D(2,1)解析：由题意，得AB为双曲线的通径，其长度为|AB|，因为AEB，所以AEF，则tanAEF1，即1，即c2a2a(ac)，即e2e20，解得e2.故选C4、(2021天津南开区期末)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线的左支上，且|MF2|7|MF1|，则此双曲线离心率的最大值为(A)ABC2D解析：由知|MF1|，ca，e，故选A5、(2021四川广元、山西孝义模拟)已知双曲线E：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作圆O：x2y2a2的切线，切点为T，延长F2T交双曲线E的左支
67、于点P，若|PF2|2|TF2|，则双曲线E的离心率的取值范围是(C)A(2，)B(，)C(，)D(2，)解析：在RtOTF2中，|OT|a，|OF2|c，|TF2|b，cosPF2F1，由双曲线的定义知，|PF2|PF1|2a，在PF1F2中，由余弦定理知，|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF2|F1F2|cosPF2F1，(|PF2|2a)2|PF2|24c22|PF2|2c，解得|PF2|0，ba，|PF2|2|TF2|，2b，即b2a，10，b0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A(1,2B2，) C(1，D，)解析：
68、当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP(图略)，因为OP为PF1F2的边F1F2上的中线，所以()；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式因为双曲线上存在点P满足2|，所以4|2c，由|a，所以a|，所以a，所以e2故选B8、已知F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sinPF2F13sinPF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为()A(1,2)B(1,3) C(3，)D(2,3)解析：在PF1F2中，sinPF2F13sinPF1F2，由正弦定理得，|PF1|3|PF2|，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以|PF1|PF
69、2|2a，所以|PF1|3a，|PF2|a，在PF1F2中，由|PF1|PF2|F1F2|，得3aa2c，即2ac，所以e2，又e1，所以1e2，故选A9、(2021长沙模拟)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且F1AF2，则该双曲线离心率的取值范围为_.解析：不妨设A在第一象限，将xc代入yx得A，所以tanF1AF2，即1，即113131e235e213e.10、(2022湖北七市(州)联考)已知双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，若双曲线存在一点P使，则该双曲线的离心率的取值范围
70、是_.解析：在PF1F2中，由正弦定理知，又，所以P在双曲线右支上，设P(x0，y0)，如图，又|PF1|PF2|2a，|PF2|.由双曲线几何性质知|PF2|ca，则ca，即e22e10，1e1.11、已知双曲线C：1(a0，b0)的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点，|PF|PO|2a，则双曲线C的离心率的取值范围是_解析：设双曲线C的右焦点为F1，由双曲线的定义可知|PF|PF1|2a，又|PF|PO|2a，所以|PO|PF1|，即点P在OF1的垂直平分线上，所以P点的横坐标为，因为点P在双曲线上，显然有a，即e2，所以离心率e的取值范围是2，)12、在平面直角坐标系xOy
71、中，已知双曲线1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线ykx交双曲线C于M，N两点(1)若M(2,3)，四边形MF1NF2的面积为12，求双曲线C的方程；(2)若k，且四边形MF1NF2是矩形，求双曲线C的离心率e的取值范围解：(1)因为直线ykx交双曲线C于M，N两点，所以M，N两点关于原点对称，从而四边形MF1NF2是平行四边形，设双曲线C的焦距为2c，则四边形MF1NF2的面积S22c312，解得c2，从而F1(2,0)，F2(2,0)，所以|MF2|3，|MF1|5，于是2a|MF1|MF2|2，解得a1，所以b，所以双曲线C的方程为x21(2)设M(x1，y1)，则N(x1，y1)由得x2x21因为(x1c，kx1)(x1c，kx1)c2(k21)x0，所以c2(k21)0，化简得k2因为k23，所以3由3得e48e240，解得1e1；由得3e48e240，解得e因此，e的取值范围为，1