1、专题九 三角函数的图象与性质 专题九 三角函数的图象和性质 主干知识整合专题九 主干知识整合 专题九 主干知识整合 专题九 主干知识整合 2.三角函数性质的研究三角函数也是函数，研究其函数性质时，可以从三角函数的解析式或三角函数的图象进行研究在研究函数性质时，首先应将所给三角函数化归为yAsin(x)、yAcos(x)、yAtan(x)，再利用换元 tx，从而转化为 yAsint、yAcost、yAtant 的性质进行研究要点热点探究专题九 要点热点探究 探究点一 三角函数的图象与变换三角函数图象的研究主要是根据函数图象求函数的解析式和函数的性质；三角函数图象的变换主要是指平移变换、伸缩变换、
2、对称变换专题九 要点热点探究 例 1 (1)给出下列六种图象变换方法：图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变；图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变；图象向右平移3个单位长度；图象向左平移3个单位长度；图象向右平移23 个单位长度；图象向左平移23 个单位长度图 91请用上述变换中的两种变换，将函数 ysinx 的图象变换到函数 ysinx23的图象，那么这两种变换的序号依次是_(填上一种你认为正确的答案即可)专题九 要点热点探究(2)函数 f(x)Asin(x)(A0，0，0,2)的图象如图 91 所示，则 _.(1)或(填出其中一种即可)(2)4【解析】(1)ysi
3、nx,ysinx3,ysinx23，或 ysinx,ysin12x,ysin12x23 sinx23.(2)T2(73)8，28 4，A3，f(x)3sin4x，将(3,0)代入得：34 2k，即 2k4.又 0,2)，所以 4.专题九 要点热点探究【点评】(1)三角函数图象进行变换时，要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异如 ysin2x 向左平移4个单位得到 ysin2x4 sin2x2 cos2x，而 ysinx 向左平移2得到 ysinx2 cosx，再进行伸缩变换得到 ycos2x，同样的伸缩变换，但平移的单位却不同(2)A，这三个值求解以 最困难，其中如果图象上没有
4、给出最高点和最低点坐标，而只给了函数的零点时，要区分对待，如点(3,0)在减区间内，则 32k，如点(7,0)在增区间内，则 72k.当然本题也可由对称性得到最低点坐标(5，3)，此时代入对应的值是惟一的专题九 要点热点探究 探究点二 三角函数的周期性与对称性对于函数 yAsin(x)的周期是由 的值来决定，而周期性也影响了三角函数的对称性和单调性对称轴的方程和对称中心的坐标还要受到 的值的影响，所以考查时常有由性质求解析式，由解析式来研究性质 例 2 (1)已知函数 f(x)2sin(x)(0)的图象关于直线 x3对称，且 f12 0，则 的最小值为_(2)设函数 f(x)sin(x)cos
5、(x)0，|2的最小正周期为，且 f(x)f(x)，则 f(x)的单调减区间为_ 专题九 要点热点探究(1)2(2)k，k2(kZ)【解析】(1)由题意得：3 k2，又12k1，所以4 k2，即 4k2，又 0，所以 的最小值为 2.(2)f(x)2sinx4，由题意知2 且 4k2，解得 2，k4.又|2，4，f(x)2sin2x2 2cos2x.令 2k2x2k，得 kxk2，故 f(x)的单调减区间为k，k2(kZ)专题九 要点热点探究【点评】(1)三角函数的对称轴和对称中心都可以转化为关于，的二元方程(2)题干给出的周期性是用来确定 的值的，第二个条件为 f(x)f(x)是为了解决 的
6、值，确定解析式后，即可求出三角函数的性质专题九 要点热点探究(1)若 f(x)Asin(x)1(0，|0，函数 ysinx3 2 的图象向右平移43 个单位后与原图象重合，则 的最小值是_专题九 要点热点探究(1)1(2)32【解析】(1)由于任意实数 t，函数 f(x)有 ft3ft3 成立，故 f(x)的图象关于直线 x3对称，即 sin31，从而 cos3 0，故 g3 1.(2)将 ysinx3 2 的图象向右平移43 个单位后为 ysinx43 3 2sinx3432，所以有43 2k，即3k2.又因为 0，所以 k1，故 3k2 32，所以 的最小值是32.专题九 要点热点探究 探
7、究点三 三角函数的单调性与值域对于函数 yAsin(x)的单调性和值域求解，首先应该将所给三角函数进行化归后，通过设 tx 的换元处理，从而转化为 ysinx 的单调性进行研究，明确单调性后，值域即可求出专题九 要点热点探究 例 3 已知函数 f(x)sin2x6 cos2x3 sinxcosx，xR.(1)求 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 的值；(2)求 f(x)在0，上的单调增区间专题九 要点热点探究【解答】(1)f(x)1cos2x321cos2x23212sin2x112(sin2xcos2x)22 sin2x4 1.当 2x42k2，即 xk38，kZ 时，f(x)得最大值为
8、 22 1.(2)由 2k22x42k2，得 k8xk38，kZ.又因为 0 x，所以 f(x)在0，上的增区间为0，38 和78，.专题九 要点热点探究【点评】三角函数性质的研究，重点是三角函数的化简，本题所给函数的解析式中方次均为二次，故需要用二倍角公式进行降幂，再观察角分别为 2x3与 2x，还需要用和差角公式进行统一，最终化归为 yAsin(x)B 的形式，即可将 x 看做整体，研究函数的性质专题九 要点热点探究 已知函数 f(x)sin2x6 cos2x32cos2x.(1)求 f12 的值；(2)求 f(x)的最大值及相应 x 的值【解析】本小题考查三角函数的求值以及运用三角函数中
9、的两角和与差公式进行化简的能力，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况专题九 要点热点探究【解答】(1)f12 sin2 126 cos2 123 2cos2 12sin3cos21cos6 32 01 32 31.(2)f(x)sin2x6 cos2x3 2cos2xsin2xcos6cos2xsin6cos2xcos3sin2xsin3cos2x1 3sin2xcos2x12sin2x6 1，当 sin2x6 1 时，f(x)max213，此时，2x62k2，即 xk6(kZ)规律技巧提炼专题九 规律技巧提炼 1三角函数的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余弦函数叠加后所得函数的研究，首先
10、需要对所给函数进行化归，在化归的过程中要注意“角”“名”“次”的统一，化归后的函数需要整体处理(换元)，再研究其性质，故对 ysinx，ycosx，ytanx 的性质必须掌握2在三角函数的性质研究时，要注意“形”和“式”之间的联系，即 A，x，对函数性质和图象的影响3三角函数图象的变换中要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异专题九 江苏真题剖析 江苏真题剖析例 2011江苏卷 函数 f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0)的部分图象如图 92 所示，则 f(0)的值是_图 92【分析】本题根据三角函数的图象先求出三角函数解析式，再代入自变量求出函数值在高考题中较为基础，其
11、中要注意代入函数零点时，要区别零点所在的单调区间专题九 江苏真题剖析【答案】62【解析】由图象可得 A 2，周期为 47123，所以 2，将712，2 代入得 27122k32，即 2k3，所以 f(0)2sin 2sin3 62.图 93专题九 要点热点探究 若函数 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象如图 93 所示，则 的值为_ 4【解析】由图可知3T4 6，得 T8，故2 84.专题九 要点热点探究 定义在区间0，2 上的函数 y6cosx 的图象与 y5tanx 的图象的交点为 P，过点 P 作 PP1x 轴于点 P1，直线PP1 与 ysinx 的图象交于点 P2，则线段 P1P2 的长为_ 23【解析】画出函数的图象，如图所示，由 y6cosx 与 y5tanx 联立成方程组得：6cosx5tanx，即 6cosx5sinxcosx，也即 6sin2x5sinx60，解得 sinx23或 sinx32(舍去)，故 P1P2sinx23.