1、广西北海市北海中学2021届高三数学12月考试试题 理（含解析）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合AxN|1x3，By|yx2，xR，则AB（ ）A. 0，1，2，3B. 1，2，3C. 1，3D. 0，3【答案】B【解析】【分析】求出集合、，再根据集合的交运算即可求解.【详解】AxN|1x3，By|yx2，xR，所以AB1，2，3.故选：B2. 如果复数是实数，（为虚数单位，），则实数的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算及算数
2、的性质即可得.【详解】由题意得：，因为复数是实数，所以解得故选：B【点睛】本题考查了复数的乘除运算，属于容易题.3. 高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算选择物理的学
3、生人数为，再计算比值得到答案.【详解】选择物理的学生人数为，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为故选：【点睛】本题考查了根据样本估计总体，意在考查学生的应用能力.4. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若S936，则a5（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质计算【详解】an等差数列，故选：B【点睛】本题考查等差数列的前项和，考查等差数列的性质利用等差数列的性质可使求解过程简便且正确即是等差数列，则（其中均为正整数）由此可得5. 已知函数是奇函数，当时，则曲线在点处切线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先
4、利用奇偶性求出当时的函数解析式,再求导,进而求得即可.【详解】由题,因为是奇函数,当时,所以,即,所以,所以,故选:B【点睛】本题考查利用奇偶性求函数解析式,考查利用导数求切线斜率.6. 函数在区间的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数非奇非偶函数，排除选项A、B，在计算时的函数值可排除选项D，进而可得正确选项.【详解】因为，且，所以既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A、B，因为，排除选项D，故选：C【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变
5、化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7. 若是三个互不重合的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）A. 若B. 若C. 若的所成角相等，则D. 若上有两个点到的距离相等，则【答案】B【解析】试题分析：A项中有可能，C项中有可能相交，D项中与可能相交考点：空间线面的位置关系的判定点评：基本知识点，空间想象力的考查8. 的展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数.【详解】解：，故它的展开式中含的系数为，故选：C【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公
6、式，二项式系数的性质，属于基础题.9. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（ ）A. “输出”B. “输出”C. “输出”D. “输出”【答案】A【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出符合题意的的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：由于满足后，此时值比程序要求的的值多2，又执行了一次，故输出的应为故选：【点睛】本题考查了程序框图应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10. 已知，满足，则下列各选项正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析
7、】【分析】将转化为是函数的零点问题，再根据零点存在性定理即可得的范围，进而得答案.【详解】解：因为函数在上单调递增，所以；因为满足，即是方程的实数根，所以是函数的零点，函数f(x)在定义域内是减函数，因，所以函数有唯一零点，即.所以.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，本题解题的关键在于将满足转化为是函数的零点，进而根据零点存在性定理即可得的范围.11. 已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用对称得，根据可得，由几何性质可得
8、，即，从而解得渐近线方程.【详解】如图所示：由对称性可得：为的中点，且，所以，因为，所以，故而由几何性质可得，即，故渐近线方程为，故选B.【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出是解题的关键，属于中档题.12. 若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解【详解】函数的图象上两点，关于直线的对称点在上，即曲线与有两个公共点，即方程有两解，即有两解，令，则，则当时，；当时，故时取得极大值
9、，也即为最大值，当时，；当时，所以满足条件故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）13. 设，若，则实数m_【答案】【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由，所以，又因为，所以，解得，故答案为：14. 设正项等比数列的公比为，前项和为，若，则_.【答案】【解析】【分析】由可知公比，所以直接利用等比数列前项和公式化简，即可求出【详解】解：因为，所以，所以，所以，化简得，因为等比数列的各项为正数，所以，所以，故答案为：【点睛】此题考查等比数列前项和
10、公式的应用，考查计算能力，属于基础题15. 已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点，过左焦点F1的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AF1|3|BF1|，|AB|BF2|，则椭圆C的离心率为_【答案】【解析】【分析】连接,设,利用椭圆性质,得到长度,分别在和中利用余弦定理,得到的长度，根据离心率的定义计算得到答案.【详解】设，则，由，得，在中，又在中，得故离心率.故答案为：16. 已知A,B两点都在以PC为直径的球O的表面上，ABBC，AB=2，BC=4，若球O的体积为，则三棱锥P-ABC表面积为_【答案】【解析】【分析】本道题结合直线与平面垂直的性质和判定，得到该三棱锥四个面为直角三角形，计算面
11、积，即可【详解】结合题意,绘制图形,得到结合P,C为球直径上的两点,且A在球面上,结合圆周角定理可知,A,P,C都在一个圆上,可得,而,且P,C,B也在球面上的同一个圆内,故,所以平面BAP,得到,结合,所以PA平面ABC,故可知,三棱锥P-ABC四个面都是直角三角形,结合球O的体积为,建立等式得到,得到,结合AB=2,BC=4,结合勾股定理,可得,PC=2,结合勾股定理,可得,所以,将BC,AB,PA,AC,PB的长度代入，得到【点睛】本道题考查了直线与平面垂直的性质与判定，难度偏难三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 2017年3月18日
12、，国务院办公厅发布了生活垃圾分类制度实施方案，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如下表组别女24415219男141010128（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”请列出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民
13、中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率附表及公式：，【答案】（1）见解析，在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的（2）【解析】【分析】（1）根据题目所给的数据可求22列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）利用列举法求得所有情况，根据古典概型可计算.【详解】（1）列联表如下：非“环保关注者”“环保关注者”合计女104555男153045合计2575100将列联表中的数据代入公式计算，得的观测值，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的（2）由题意
14、可知，利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3人，男“环保达人”2人设女“环保达人”3人分别为，；男“环保达人”2人为，从中抽取两人所有情况为：，共l0种情况既有女“环保达人”又有男“环保达人”的情况有，共6种情况故所求概率为【点睛】本题考查独立性检验，相互独立事件的概率计算，考查计算能力，属于简单题.18. 在中，角所对的边分别为已知（）求角的大小；（）求的值；（）求的值【答案】（）；（）；（）.【解析】【分析】（）直接利用余弦定理运算即可；（）由（）及正弦定理即可得到答案；（）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（）在中，由，及
15、正弦定理，可得；（）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.19. 在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点（1）求证：BEDC；（2）求直线PC与平面PDB所成角的正弦值【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过计算得到（2）计算平面的法向量后计算其与的夹角的余弦值的绝对值即得线面角的正弦值【详解】（1）证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系如图：可得，故，所以（2）， 设
16、为平面的一个法向量，则 即，不妨令，可得设直线PC与平面PDB所成角为 于是有，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】思路点睛：解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.20. 已知函数（1）探究函数的单调性；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) 见解析(2) 【解析】试题分析：（1）求导得，然后分类、两种情况即可得出函数的单调性（2）构造，求导得，构造，分类
17、讨论时、时的两种情况得出的取值范围解析：（1）依题意，若，函数在上单调递增；若，当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；（2）依题意，即在上恒成立，令，则，令，则是上的增函数，即，当时，所以，因此是上的增函数，则，因此时，成立，当时，得，求得，（由于，所以舍去）当时，则在上递减，当时，则在上递增，所以当时，因此时，不可能恒成立，综合上述，实数的取值范围是点睛：本题考查了导数的单调性与恒成立问题，当遇到参量时需要进行分类讨论，在有参量求恒成立问题时有两种方法：分离含参量与不分离含参量，本题没有分类参量，带着参量一起求导，然后分类讨论21. 已知抛物线上的点到点距离的最小值为. （1）求抛物线
18、的方程；（2）若，圆，过作圆的两条切线分别交轴两点，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）当且仅当时，取最小值8.【解析】试题分析：（1）利用两点间距离公式求最值即可；（2）由题意可知，所以直线的方程为，由直线与圆相切，得圆心到直线距离等于半径，整理得，同理得，得为方程的两根，利用根与系数关系求解即可.试题解析：(1).，所以当即时，不符合题意，舍去；所以即时， 或（舍去），.(2) 由题意可知，所以直线的方程为，即，整理得：，同理：，为方程的两根， ，当且仅当时，取最小值.选考部分请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修44：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中
19、，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）直线的普通方程为.在曲线的参数方程中，所以曲线的普通方程为.（2）设点.点到直线的距离.当时，所以点到直线的距离的最小值为.此时点的坐标为.【点睛】本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.选修45：不等式选讲23. 已知函数.（1）求的最小值；（2）若正实数满足，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据绝对值三角不等式放缩，即可求得的最小值；(2)将中，看作整体，展开后利用基本不等式可得，即，再利用绝对值三角不等式，即可证出.【详解】(1)因为，所以.(2)由(1)知，.因为，所以，所以，故，所以.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的运用，属于中档题.