1、2.2.2函数的奇偶性1了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征2会判断函数的奇偶性(重点)3掌握函数奇偶性的运用(难点)基础初探教材整理函数奇偶性的概念阅读教材P41P43，完成下列问题1偶函数一般地，设函数yf (x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有f (x)f (x)，那么称函数yf (x)是偶函数2奇函数一般地，设函数yf (x)的定义域为A，如果对于任意的xA，都有f (x)f (x)，那么称函数yf (x)是奇函数3奇偶性如果函数f (x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f (x)具有奇偶性4奇、偶函数的图象性质(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数
2、(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数1判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数f (x)x的图象关于(0,0)对称()(2)偶函数的图象一定与y轴相交()(3)若对函数f (x)有f (1)f (1)，则f (x)为偶函数()(4)奇函数的图象一定过(0,0)()【答案】(1)(2)(3)(4)2若f (x)是定义在区间a2,5上的奇函数，则a_.【解析】易知a250，a3.【答案】3小组合作型函数奇偶性的判断(1)若函数f (x)的图象如图225，则f (x)为_函数(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)图225(2)判断下列函数的奇偶性f (x)；f (x)
3、；f (x).【精彩点拨】(1)观察图象的对称性(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f (x)与f (x)的关系【自主解答】(1)因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数【答案】偶(2)因为函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称又f (x)f (x)，所以函数f (x)是偶函数定义域要求所以1x1，所以f (x)的定义域不关于原点对称，所以f (x)是非奇非偶函数由得x2，2，定义域关于原点对称，且f (2)0，所以f (x)既是奇函数又是偶函数判断函数奇偶性的方法1定义法2图象法若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数此法多用于填空题中
4、再练一题1判断下列各函数的奇偶性(1)f (x)(x2)；(2)f (x)【解】(1)由0，得定义域为2,2)，关于原点不对称，故f (x)为非奇非偶函数(2)当x1，f (x)(x)2x2f (x)；当x1时，f (x)x2，x1，f (x)x2f (x)；当1x1时，f (x)0，1x1，f (x)0f (x)对定义域内的每个x都有f (x)f (x)，因此f (x)是偶函数已知函数奇偶性求解析式(1)已知f (x)是R上的奇函数，当x(，0)时，f (x)x(1x)，求f (x)；(2)若函数f (x)x2(m1)x3(xR)是偶函数，求m的值. 【精彩点拨】(1)已知x0的解析式，应通
5、过(x)进行过渡，但别忽视x0的情况；(2)应用偶函数满足f (x)f (x)【自主解答】(1)f (x)为R上的奇函数，f (0)f (0)，f (0)0.当x(0，)时，x(，0)，f (x)x(1x)f (x)为R上的奇函数，f (x)x(1x)，f (x)x(1x)综上可知，f (x)(2)f (x)为偶函数，f (x)f (x)，即x2(m1)x3x2(m1)x3，2(m1)x0.xR，m10，得m1.1本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x0的情形若函数f (x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f (0)0.2利用奇偶性求解析式的思路(1)在待求解析式的区间内设x，则x在已知解析式的区
6、间内；(2)利用已知区间的解析式进行代入；(3)利用f (x)的奇偶性，求待求区间上的解析式再练一题2(1)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，x0时，f (x)x23x，则函数f (x)在R上的解析式是_(填序号)f (x)x(x3)；f (x)x(|x|3)；f (x)|x|(x3)；f (x)|x|(|x|3)(2)已知函数f (x)为奇函数，且当x0时，f (x)2x2，则f (1)_.【解析】(1)f (x)在R上是偶函数，且x0时，f (x)x23x，当x0，f (x)(x)23xx23x，则f (x)f (x)x23xx(x3)又当x0时，f (x)x23xx(x3)，因此f
7、 (x)|x|(|x|3)(2)法一：当x0，f (x)f (x)2(x)22x2，f (1)2(1)23.法二：f (1)f (1)(2121)3.【答案】(1)(2)3探究共研型奇偶函数的单调性探究1观察图226中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？图226【提示】两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同探究2能否证明一下探究1中的结论(不妨以“已知f (x)在a，b(a0)上递增”为例)【提示】已知f (x)是奇函数，在区间a，b(a0)上是单调
8、递增的证明f (x)在区间b，a上也单调递增证明：任取x1，x2b，a且x1x2.则f (x1)f (x2)f (x1)f (x2)f (x2)f (x1)，bx1x2a，ax2x1b，由f (x)在a，b上单调递增，f (x2)f (x1)，f (x2)f (x1)0，即f (x1)f (x2)，f (x)在区间b，a上单调递增探究3从图227两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？图227【提示】偶函数的图象在对称区间上单调性相反已知函数f (x)是奇函数，其定义域为(1,1)，且在0,1)上为增函数若f (a2)f (32a)0，试求a的取值范围【精彩点拨】可将f (
9、a2)f (32a)0移项得f (a2)f (32a)，根据奇偶性和单调性转化为研究a2与2a3的大小关系，注意定义域【自主解答】f (a2)f (32a)0，f (a2)f (32a)f (x)为奇函数，f (32a)f (2a3)，f (a2)f (2a3)f (x)在0,1)上为增函数，f (x)在(1,1)上单调递增，解得1af (1)的a的取值范围是_【解析】由f (x)为偶函数，得f (2a1)f (|2a1|)，又f (x)在0,2上单调递增，且f (|2a1|)f (1)，|2a1|1，故1a或a0.【答案】1下列函数为奇函数的是_(填序号)(1)yx；(2)y2x23；(3)
10、y；(4)yx3，x0,1【解析】(1)中函数是奇函数；(2)中函数是偶函数；(3)(4)中函数是非奇非偶函数【答案】(1)2已知函数f (x)3，则f (x)的奇偶性为_【解析】要使函数有意义，需满足x220,2x20，x，此时y0，因此函数图象为点，既关于原点对称又关于y轴对称，因此函数既是奇函数又是偶函数【答案】既是奇函数又是偶函数3已知f (x)ax3bx4，其中a，b为常数，若f (2)2，则f (2)的值等于_【解析】f (2)2，8a2b42，8a2b6，f (2)8a2b410.【答案】104设f (x)是定义在(，)上的偶函数，且当x0时，f (x)x31，则当x0时，f (x)_.【解析】当x0，f (x)(x)31x31，f (x)f (x)，f (x)x31.【答案】x315已知定义在2,2上的奇函数f (x)在0,2上单调递增，f (m)f (m1)0，求实数m的取值范围【解】f (x)是奇函数，在0,2上单调递增，f (x)在2,2上都递增由f (m)f (m1)0，f (m)f (m1)f (1m)，由f (x)的单调性知1mm，m2，m的取值范围为.