1、专题六 存在性问题 专题六 存在性问题 主干知识整合专题六 主干知识整合 1在代数综合问题中常遇到存在性问题与恒成立问题类似，存在性问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法2存在性问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)xD，f(x)C；(2)xD，f(x)g(x)；(3)x1D，x2D，f(x1)g(x2)；(4)x1D，x2D，f(x1)g(x2)3存在性问题处理方法(1)转换求函数的最值；(2)分离参数法；(3)转换成函数图象问题；(4)转化为恒成立问题要点热点探究专题六 要点热点探究 对于xD，f(x)g(x)的研究，先设 h(x)f(x)g
2、(x)，再等价为xD，h(x)max0，其中若 g(x)c，则等价为xD，f(x)maxc.例 1 已知函数 f(x)x3ax210.(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)在区间1,2内至少存在一个实数 x，使得 f(x)g(x)的研究 专题六 要点热点探究【解答】(1)当 a1 时，f(x)3x22x，f(2)14，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率 kf(2)8，所以曲线 yf(x)在点(2，f(x)处的切线方程为8xy20.(2)解法一：f(x)3x22ax3xx23a(1x2)，当23a1，即 a32时，f(x)0，f(x)在1,2上为
3、增函数，故 f(x)minf(1)11a，所以 11a11，这与 a32矛盾当 123a2，即32a3 时，当 1x23a，f(x)0；当23a0，所以 x23a 时，f(x)取最小值，因此有 f23a 0，即 827a349a310 427a31033 52，这与32a3 矛盾；当23a2，即 a3 时，f(x)0，f(x)在1,2上为减函数，所以 f(x)minf(2)184a，所以 184a92，这符合 a3.综上所述，a 的取值范围为 a92.解法二：由已知得：ax310 x2x10 x2，设 g(x)x10 x2(1x2)，g(x)120 x3，1x2，g(x)92.专题六 要点热点
4、探究 专题六 要点热点探究【点评】解法一在处理时，需要用分类讨论的方法，讨论的关键是极值点与区间1,2的关系；解法二是用的参数分离，由于 ax2x310 中 x21,4，所以可以进行参数分离，而无需要分类讨论已知函数 f(x)x(xa)2，g(x)x2(a1)xa(其中 a为常数)(1)如果函数 yf(x)和 yg(x)有相同的极值点，求 a 的值；(2)设 a0，问是否存在 x01，a3，使得 f(x0)g(x0)，若存在，请求出实数 a 的取值范围；若不存在，请说明理由 专题六 要点热点探究【解答】(1)f(x)x(xa)2x32ax2a2x，则 f(x)3x24axa2(3xa)(xa)
5、，令 f(x)0，得 xa 或a3，而 g(x)在 xa12 处有极大值a12 aa1，或a12 a3a3.综上，a3 或 a1.专题六 要点热点探究(2)假设存在，即存在 x01，a3，使得f(x0)g(x0)x0(x0a)2x20(a1)x0ax0(x0a)2(x0a)(x01)(x0a)x20(1a)x010，当 x01，a3 时，又 a0，故 x0a0，则存在 x01，a3，使得 x20(1a)x01a3，即 a3 时，由a32(1a)a3 13 或 a3；当1a12 a3，即 0a3 时，4a1240 得 a3，a 无解综上，a3.专题六 要点热点探究 对于x1D，x2D，f(x1)
6、g(x2)的研究，若函数 f(x)的值域为 C1，函数 g(x)的值域为 C2，则该问题等价为 C1C2.例 2设函数 f(x)13x313x253x4.(1)求 f(x)的单调区间；(2)设 a1，函数 g(x)x33a2x2a.若对于任意 x10,1，总存在 x00,1，使得 f(x1)g(x0)成立，求 a 的取值范围 探究点二 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究 专题六 要点热点探究【解答】(1)f(x)x223x53，令 f(x)0，即 x223x530，解得53xg(x2)的研究，第一步先转化为x2D，f(x1)ming(x2)，再将该问题按照探究点一转化为f(x1)min
7、g(x2)min.例 3 已知函数 f(x)2|xm|和函数 g(x)x|xm|2m8.(1)若方程 f(x)2|m|在4，)上恒有惟一解，求实数 m 的取值范围；(2)若对任意 x1(，4，均存在 x24，)，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 m 的取值范围 探究点三 x1D，x2D，f(x1)g(x2)的研究 专题六 要点热点探究【解答】(1)由 f(x)2|m|在 x4，)上恒有惟一解，得|xm|m|在 x4，)上恒有惟一解当 xmm 时，得 x2m，则 2m0 或 2m4，即 m2 或 m0.综上，m 的取值范围是 m2 或 m0.(2)f(x)2xmxm，2mxxg(x2)mi
8、n.当 4m8 时，f(x)在(，4上单调递减，故 f(x)f(4)2m4，g(x)在4，m上单调递减，m，)上单调递增，故 g(x)g(m)2m8，所以 2m42m8，解得4m6.所以 4m5 或 68 时，f(x)在(，4上单调递减，故 f(x)f(4)2m4，g(x)在4，m2 单调递增，m2，m 上单调递减，m，)上单调递增，专题六 要点热点探究 g(4)6m24g(m)2m8，故 g(x)g(m)2m8，所以 2m42m8，解得 4m6.所以 m8.0m4 时，f(x)在(，m上单调递减，m,4上单调递增，故 f(x)f(m)1.g(x)在4，)上单调递增，故 g(x)g(4)82m
9、，所以 82m1，即72m4.m0 时，f(x)在(，m上单调递减，m,4上单调递增，故 f(x)f(m)1.g(x)在4，)上单调递增，故 g(x)g(4)82m，所以 82m72(舍去)综上，m 的取值范围是72，5(6，)专题六 要点热点探究【点评】对于xD，f(x)c，可以转化为 f(x)minc；xD，cg(x)，可以转化为 cg(x)min，所以本问题类型可以分两步处理，转化为 f(x)ming(x)min.规律技巧提炼专题六 规律技巧提炼 1对于恒成立问题或存在性问题常见基本类型为xD，f(x)c，可以转化为 f(x)minc；xD，cg(x)，可以转化为cg(x)min，xD，
10、cg(x)，可以转化为 cy|yg(x)，对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题，可以采取分步转化的方法来处理2对于含有参数的恒成立问题或存在性问题，常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题专题六 课本挖掘提升 课本挖掘提升(教材选修 21 P20 复习题 5 改编)例命题“x(0，)，x2ax10”为真命题，则a 的取值范围为_【分析】本题可以参数分离，等价为xD，f(x)a，即f(x)mina.【答案】a2【解析】原命题等价为x(0，)，x21xa，令 f(x)x21xx1x2，所以 a2.已知命题“xR，|xa|x1|2”是假命题，则实数 a 的取值范围是_ 专题六 课本挖掘提升(，3)(1，)【解析】由题意知，原命题的否定“xR，|xa|x1|2”为真命题，又|xa|x1|a1|，所以|a1|2，解得 a1 或 a0，并借助于图象进行研究由于参数 m 出现在 x3项上，故还需要讨论 m 是否等于 0.【解答】当 m0 时，f(x)mx22x1 是开口向上的抛物线，显然 f(x)在(2，)上存在子区间使得 f(x)0，所以 m 的取值范围是(0，)当 m0 时，显然成立当 m0，应满足m0，或m0，1m0.解得12m0，或34m12，所以 m 的取值范围是34，0.综上，m 的取值范围是34，.专题六 课本挖掘提升