1、2.1.3两条直线的平行与垂直学 习 目 标核 心 素 养1理解两条直线平行与垂直的判断条件(重点)2能根据斜率判定两条直线平行与垂直，体会用代数方法研究几何问题的思想(重点、难点)通过学习本节内容来提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.1两条直线平行(1)若直线l1：yk1xb1，直线l2：yk2xb2，则l1l2k1k2且b1b2(k1，k2均存在)(2)设l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10)思考：两平行直线的斜率是否一定相等提示：只要斜率存在，则斜率一定相等2两条直线垂直(1)如图，如果两条直线都有斜
2、率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1；反之，如果它们的斜率之积等于1，那么它们互相垂直即l1l2k1k21(k1，k2均存在)(2)如图，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1l2.()(2)若直线l1l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1k2.()(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行()答案(1)(2)(3)2已知A(2，0)，B(3，3)，直线lAB，则直线l的斜率k_3kAB3，kl
3、kAB3.3与直线x2y70垂直的一条直线的斜率k_2直线x2y70的斜率k，故与其垂直的一条直线的斜率k2.4过点(0，1)且与直线2xy0垂直的直线的一般式方程是_x2y20直线2xy0的斜率是k2，故所求直线的方程是yx1，即x2y20.两直线平行的判定【例1】判断下列各题中直线l1与l2是否平行(1)l1的斜率为1，l2经过点P(1，1)，Q(3，3)；(2)l1经过点A(3，2)，B(3，10)，l2经过点C(5，2)，D(5，5)；(3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点C(1，3)，D(2，0)；(4)l1：x3y20，l2：4x12y10.思路探究：依据斜率公式，
4、求出斜率，利用l1l2或l1，l2重合k1k2或k1，k2不存在判断解(1)k11，k21，k1k2，l1与l2重合或l1l2.(2)l1与l2都与x轴垂直，通过数形结合知l1l2.(3)k11，k21，k1k2，数形结合知l1l2.(4)l1的方程可变形为yx；l2的方程可变形为yx.k，b1，k2，b2，k1k2且b1b2，l1l2.判断两条直线平行的方法1根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系(1)l1经过点A(2，1)，B(3，5)，l2经过点C(3，3)，D(8，7)；(2)l1的倾斜角为60，l2经过点M(3，2)，N(2，3)解(1)由题意知k1，k2.因为k1k2
5、，且A，B，C，D四点不共线，所以l1l2.(2)由题意知k1tan 60，k2.因为k1k2，所以l1l2或l1与l2重合两直线垂直的判定【例2】判断下列各题中直线l1与l2是否垂直(1)直线l1：2x4y70，直线l2：2xy50；(2)直线l1：y20，直线l2：xay10；(3)直线l1经过点，l2经过点，.思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定解(1)k1，k22，k1k2(2)1，l1与l2垂直(2)当a0时，直线l2方程为x1，即l2斜率不存在，又直线l1的斜率为0，故两直线垂直当a0时，直线l2的斜率为，又直线l1的斜率为0，故两直线相交但不垂直(3)k1，k2.k1k21，两
6、条直线不垂直1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直2.直接使用A1A2B1B20判断两条直线是否垂直更有优势2判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(1，2)，B(1，2)，l2经过点M(2，1)，N(2，1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；(3)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(10，40)，N(10，40)解(1)直线l1的斜率k12，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1与l2不垂直(2
7、)直线l1的斜率k110，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1l2.(3)l1的倾斜角为90，则l1x轴直线l2的斜率k20，则l2x轴故l1l2.两直线平行与垂直的应用探究问题1如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为1与2，且12，斜率分别为k1，k2，若l1l2，1与2之间有什么关系？为什么？提示2901.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和2已知A(4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状提示四边形ABCD为直角梯形，理由如下：如图，由斜率公式得kAB，kCD，kAD3，kBC，kABkCD，AB与CD不重合AB
8、CD，又kADkBC，AD与BC不平行又kABkAD(3)1，ABAD，故四边形ABCD为直角梯形【例3】已知点A(2，2)和直线l：3x4y200，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解解法一：3x4y200，kl.(1)设过点A与l平行的直线为l1.kl1kl，l1的方程为y2(x2)，即3x4y140.(2)设过点A与l垂直的直线为l2.klkl21，kl21，kl2.l2的方程为y2(x2)，即4x3y20.法二：(1)设与直线l平行的直线方程为3x4ym0，则68m0
9、，m14，3x4y140为所求(2)设与直线l垂直的直线方程为4x3yn0，则86n0，n2，4x3y20为所求两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线AxByC0平行的直线系方程为AxByD0(CD)，垂直的直线系方程为BxAyD0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可3(1)已知四点A(5，3)，B(10，6)，C(3，4)，D(6，11)，求证：ABCD；(2)已知直线l1的斜率k1，直线l2经过点A(3a，2)，B
10、(0，a21)，且l1l2，求实数a的值解(1)证明：由斜率公式得：kAB，kCD，则kABkCD1，ABCD.(2)l1l2，k1k21，即1，解得a1或a3.1本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线平行的步骤(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法(3)判断图形形状的方法步骤3本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论1下列说法正确的有()A若两直线斜率相等，则两直线平行B若l1l2，则k1k2C若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一
11、条直线的斜率存在，则两直线相交D若两直线斜率都不存在，则两直线平行CA中，当k1k2时，l1与l2平行或重合，错误；B中，若l1l2，则k1k2或两直线的斜率都不存在，错误；D中两直线可能重合2过点(，)，(0，3)的直线与过点(，)，(2，0)的直线的位置关系为_垂直过点(，)，(0，3)的直线的斜率k1；过点(，)，(2，0)的直线的斜率k2.因为k1k21，所以两条直线垂直3已知直线(a1)xy10与直线2xay10平行，则实数a_2由已知，得(a1)a20，解得a1或a2，当a1时，两直线重合，故a2.4已知直线l1：ax3y3，l2：x2ay5，若l1l2，求a的值解直线l1：ax3y30，直线l2：x2ay50.l1l2，a132a0，即a0.