1、（全国I卷）2021届高三数学第二次模拟考试题（四）文注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数，则（ ）A2BC1D2已知全集，集合，是的子集，且
2、，则下列结论中一定正确的是（ ）ABCD3已知等比数列的前n项和为，则“”是“单调递增”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A19B21C23D255上饶市婺源县被誉为“茶乡”，婺源茶业千年不衰，新时代更是方兴未艾，其中由农业部监制的婺源大山顶特供茶“擂鼓峰”茶尤为出名，为了解每壶“擂鼓峰”茶中所放茶叶量克与食客的满意率的关系，抽样得一组数据如下表：(克)24568(%)30507060根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（ ）ABCD6若实数，满足不等式组，且，则（ ）A4B3C2D1
3、7当一束平行单色光垂直通过某一均匀非散射的吸光物质时透光度的数学表达式为，其中系数与吸光物质的性质及入射光线的波长有关，为吸光物质的浓度（单位：），为吸收介质的厚度（单位：）已知吸光物质及入射光线保持恒定，当吸收介质的厚度为时，透光度为，则当吸收介质的厚度增加时，透光度为原来的（ ）ABCD8向量（是单位向量）若，则（ ）ABCD9在等差数列中，记，则数列（ ）A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项10已知圆，直线，若在直线上任取一点作圆的切线，切点分别为，则最小时，原点到直线的距离为（ ）ABCD11已知函数，其中若的图象在点处的切线与的图象在点处的
4、切线重合，则a的取值范围为（ ）ABCD12已知四边形是边长为5的菱形，对角线（如图1），现以为折痕将菱形折起，使点达到点的位置棱，的中点分为，且四面体的外接球球心落在四面体内部（如图2），则线段长度的取值范围为（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知函数，在上单调递增，那么常数的一个取值_14如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山底C在西偏北的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山底C在西偏北的方向上，山顶D的仰角为，则此山的高度_15已知抛物线的焦点为F，点，过点F的直线与此抛物线交于两点，若，且，则_16已知函数的定义域为，导函数为
5、，若，且，则满足的的取值范围为_三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，、分别是、的中点（1）求证：直线平面；（2）求三棱锥的体积18（12分）已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）设锐角的内角，所对的边分别是，已知，求的面积的取值范围19（12分）为研究男、女生的身高差异，现随机从高三某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下（单位：厘米）：男：173 178 174 185 170 169 167 164 161 170女：165 166 156 170 163 162 15
6、8 153 169 172（1）根据测量结果完成身高的茎叶图（单位：厘米），并分别求出男、女生身高的平均值；（2）请根据测量结果得到20名学生身高的中位数h（单位：厘米），将男、女生身高不低于h和低于h的人数填入下表中，并判断是否有的把握认为男、女生身高有差异？人数男生女生合计身高身高合计（3）若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高采用分层抽样的方法从以上男生中抽取5人作为样本若从样本中任取2人，试求恰有1人身高属于正常的概率01000500250010000500012706384150246635787910828参照公式：20（12
7、分）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C与x轴交于A，B两点，M是直线上任意一点，直线，与椭圆C的另一个交点分别为D，E求证：直线过定点21（12分）已知函数（1）设函数，当时，证明：当时，；（2）若有两个不同的零点，求的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，射线分别交、
8、于、两点（异于极点），当时，求23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知（1）在时，解不等式；（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围文 科 数 学 答 案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】B【解析】因为，所以，故选B2【答案】B【解析】集合，是的子集，且，对于A，故A不正确；对于B，故B正确；对于C，不包括属于且不属于的部分，故C不正确；对于D，其交集为属于且不属于的部分，故D不正确，故选B3【答案】D【解析】，例如，但是数列不单调递增，故不充分；数列单调递增，例如，但是，故不必要，故选D4【答案】C【解析】当输
9、入时，则，成立；当输入时，则，成立；当输入时，则，成立，由程序框图可知程序的规律为，则，由条件，解得，即时程序结束，此时，故选C5【答案】B【解析】由表中数据，计算可得，因为回归直线方程过样本中心点，所以有，解得，故选B6【答案】A【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中，在直线中，表示直线的纵截距作出直线并平移，数形结合知当平移后的直线经过点时，取得最小值，且；当平移后的直线经过点时，取得最大值，且，所以，故选A7【答案】C【解析】因为时，所以，所以设吸收介质的厚度增加时，透光度为，则，故选C8【答案】C【解析】因为，所以，所以对恒成立，所以，即，所以，所以，所以，所以，故
10、选C9【答案】C【解析】依题意可得公差，所以当时，；当时，因为，又当时，且，即，所以当时，数列单调递增，所以数列无最大项，数列有最小项，故选C10【答案】A【解析】由，得，所以圆心，半径，在中，当最小时，最小，最大，最小，此时，的最小值为圆心到直线的距离，此时，因为，所以，所以圆心到直线的距离为，所以两平行直线与之间的距离为，因为原点到直线的距离为，所以原点到直线的距离为，故选A11【答案】A【解析】，函数在点处的切线方程为，函数在点处的切线方程为，两直线重合的充要条件是，由及，得，故，令，则，且，设，当时，恒成立，即单调递减，时，即a的取值范围为，故选A12【答案】A【解析】如图，由题意可知
11、的外心在中线上，设过点的直线平面，易知平面，同理，的外心在中线上设过点的直线平面，则平面由对称性易知直线，的交点在直线上根据外接球的性质，点为四面体的外接球球心易知，而，令，显然，又，即，综上所述，故选A第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】（答案不唯一）【解析】在上单调递增，则，取一个该范围内的值即可，如，故答案为14【答案】【解析】在中，即，解得又在中，即山高为，故答案为15【答案】6【解析】设的方程为，则由，得，又为锐角，不妨设，如图，作轴，垂足为H，过M作直线轴，垂足为，则，故，故答案为616【答案】【解析】令，又，则，即，故函数为奇函数，故函数在上单调递减，则，即，即
12、，即，故，所以x的取值范围为，故答案为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：取OD的中点P，连接PC、PM，M、N分别是OA、BC的中点，且，且，且PMNC，则PMNC是平行四边形，得，PC平面OCD，平面OCD，直线平面OCD（2）平面，所以平面平面，又，所以平面，又到平面的距离为1，所以三棱锥的体积即为三棱锥的体积，为18【答案】（1），；（2）【解析】（1）由题意知令，则，所以的单调递增区间为，（2）因为，所以，所以，所以或，即或，又为锐角三角形，故，因为，所以由正弦定理可知，所以因为是锐角三
13、角形，所以，所以，所以，所以19【答案】（1）茎叶图见解析，男：，女：；（2）列联表见解析，有90%把握认为；（3）【解析】（1）茎叶图为男生平均身高为；女：（2）将20名学生身高按从小到大的顺序排成一列：，则20名学生身高的中位数，男、女身高的列联表：人数男生女生合计身高7310身高3710合计101020因为，所以有90%把握认为男、女身高有差异（3）由测量结果可知，身高属于正常的男生有人，身高属于不正常的男生有人，用分层抽样的方法从这人抽取人，其中身高正常的男生有人，记这三名男生为a，b，c，身高不正常的男生有人，记这两名男生为1，2，从以上5名学生中任取2人的结果有，共10种，其中恰好
14、一名身高属于正常的男生的事件有，共6种，所以恰有1人属于正常的概率为20【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）因为椭圆C的离心率，所以，即由，得，所以，其焦点为，因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点，所以，所以，所以椭圆C的方程为（2）由（1）可得，设点M的坐标为，直线的方程为将与联立，消去y，整理得，设点D的坐标为，则，故，则直线的方程为将与联立，消去y整理得设点E的坐标为，则，故，则，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以直线经过定点H21【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1），所以在上为单调递增函数，且，当时，（2）设函数，则，令，当时，当时，；当时，得，所以当时，在上
15、为单调递增函数，此时至多有一个零点，至多一个零点不符合题意舍去；当时，有，此时有两个零点，设为，且又因为，所以，得在，为单调递增函数，在上为单调递减函数，且，所以，又因为，且图象连续不断，所以存在唯一，使得，存在唯一，使得，又因为，所以，当有两个不同的零点时，22【答案】（1），（或）；（2）【解析】（1）（为参数），得（为参数），曲线的普通方程为，即，所以，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，即，所以，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程得，即（2）依题意设、，由，得；由，得，是圆的直径，在中，在中，即，即23【答案】（1）；（2）或【解析】（1）在时，在时，；在时，无解；在时，综上可知：不等式的解集为（2）恒成立，而或，故只需恒成立，或恒成立，或，的取值为或