1、热点题型探究高考命题视角专题限时集训第6讲 高考中导数的综合运用第1课时 利用导数研究函数的单调性、极值、最值题型一|利用导数研究函数的单调性 已知函数f(x)xaxln x(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1，)上单调递增，求a的取值范围解题指导(1)求f(x)就a的取值讨论fx的符号求f(x)的单调区间(2)f(x)在(1，)上单调递增 等价转化f(x)0在(1，)上恒成立 求a的范围解(1)函数f(x)xaxln x的定义域为(0，)，1分f(x)1ax21xx2xax2.2分当14a0，即a14时，得x2xa0，则f(x)0.函数f(x)在(0，)上单调递
2、增.3分当14a0，即a14时，令f(x)0，得x2xa0，解得x11 14a20，x21 14a2.4分()若14a0，则x21 14a20.x(0，)，f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递增.6分()若a0，则x0，1 14a2时，f(x)0；x1 14a2，时，f(x)0.函数f(x)在区间0，1 14a2上单调递减，在区间1 14a2，上单调递增.8分综上所述，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，函数f(x)的单调递减区间为0，1 14a2，单调递增区间为1 14a2，.10分(2)由题意知，f(x)0在(1，)上恒成立，即x2xa0在(1，)上恒成立，11
3、分令g(x)x2xax12214a，则g(x)2a，从而2a0，a2.12分当a2时，f(x)0在(1，)上恒成立，13分因此实数a的取值范围是(，2.14分【名师点评】1.研究函数的单调性，必须优先考虑函数的定义域2根据函数的单调性求参数取值范围的思路：(1)求f(x)；(2)将单调性转化为f(x)0或f(x)0恒成立问题求解，要注意“”是否可以取到，应加以检验已知函数f(x)ln x，g(x)f(x)ax2bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴(1)确定a与b的关系；(2)若a0，试讨论函数g(x)的单调性解(1)依题意得g(x)ln xax2bx，则g(x)1x
4、2axb.4分由函数g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于x轴得g(1)12ab0，b2a1.6分(2)由(1)得g(x)2ax22a1x1x2ax1x1x.7分函数g(x)的定义域为(0，)，当a0时，g(x)x1x.8分由g(x)0得0 x1，由g(x)0得x1，即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当a0时，令g(x)0得x1或x 12a，10分若 12a 1，即a 12，由g(x)0得x1或0 x 12a，由g(x)0得 12a x1，即函数g(x)在0，12a，(1，)上单调递增，在12a，1 上单调递减；12分若 12a1，即0a12，由g(x)0得x
5、 12a或0 x1，由g(x)0得1x12a，即函数g(x)在(0,1)，12a，上单调递增，在1，12a 上单调递减；若 12a 1，即a 12，在(0，)上恒有g(x)0，即函数g(x)在(0，)上单调递增.13分综上可得：当a0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a12时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在1，12a上单调递减，在12a，上单调递增；当a12时，函数g(x)在(0，)上单调递增；当a12时，函数g(x)在0，12a 上单调递增，在12a，1 上单调递减，在(1，)上单调递增.14分题型二|利用导数研究函数的极值、最值 已知函数f(x)ax
6、bxex，a，bR，且a0.(1)若a2，b1，求函数f(x)的极值；(2)设g(x)a(x1)exf(x)，当a1时，对任意x(0，)，都有g(x)1成立，求b的最大值；设g(x)为g(x)的导函数若存在x1，使g(x)g(x)0成立，求 ba 的取值范围解(1)当a2，b1时，f(x)21x ex，定义域为(，0)(0，).1分所以f(x)x12x1x2ex.2分令f(x)0，得x11，x212.3分列表：x(，1)1(1,0)0，121212，f(x)00f(x)极大值 极小值 5分由表知f(x)的极大值是f(1)e1，f(x)的极小值是f12 4 e.6分(2)因为g(x)(axa)e
7、xf(x)axbx2a ex，当a1时，g(x)xbx2 ex.7分因为g(x)1在x(0，)上恒成立，所以bx22xxex在x(0，)上恒成立.8分记h(x)x22xxex(x0)，则h(x)x12ex1ex.9分当0 x1时，h(x)1时，h(x)0，h(x)在(1，)上是增函数.10分所以h(x)minh(1)1e1.所以b的最大值为1e1.11分因为g(x)axbx2a ex，所以g(x)bx2axbxa ex.12分由g(x)g(x)0，得axbx2a exbx2axbxa ex0，整理得2ax33ax22bxb0.13分若存在x1，使g(x)g(x)0成立，等价于存在x1,2ax3
8、3ax22bxb0成立.14分因为a0，所以ba2x33x22x1.设u(x)2x33x22x1(x1)，则u(x)8xx342 3162x12.15分因为x1，u(x)0恒成立，所以u(x)在(1，)上是增函数，所以u(x)u(1)1，所以ba1，即ba的取值范围为(1，).16分【名师点评】1.函数f(x)在xx0处取得极值的判断方法：求得导数f(x)后，检验f(x)在xx0左右的符号，(1)左正右负f(x)在xx0处取极大值；(2)左负右正f(x)在xx0处取极小值2由不等式恒成立求参数取值范围，一般有两个解题思路：(1)分离参数；(2)不分离参数，二者都将问题归结为求函数的最值，至于用
9、哪种方法，关键是看参数是否已分离这两个思路的依据是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.已知函数f(x)x12ax2ln(1x)，其中aR.(1)若x2是f(x)的极值点，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)在0，)上的最大值是0，求a的取值范围【导学号：19592018】解(1)f(x)x1aaxx1，x(1，).2分依题意，得f(2)0，解得a13.4分经检验，a13时，符合题意.6分(2)当a0时，f(x)xx1，x(1，)故f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0).7分当a0时，令f(x)0，得x10，x21a1.当0a1时，1x20
10、，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(1，x2)x2(x2，x1)x1(x1，)f(x)00f(x)f(x2)f(x1)f(x)的单调增区间是1a1，0，单调减区间是1，1a1 和(0，).9分当a0时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)综上，当a0时，f(x)的单调增区间是(0，)，单调减区间是(1,0)；当0a1时，f(x)的单调增区间是1a1，0，单调减区间是1，1a1 和(0，).10分(3)由(2)知a0时，f(x)在(0，)上单调递增，由f(0)0知不合题意.12分当0a0，f(x)在区间0，1a1 上递增可知，f1a1 f(0)0，不合题意.14分当a1时，
11、f(x)在(0，)上单调递减，可得f(x)在0，)上的最大值是f(0)0符合题意即f(x)在0，)上的最大值是0时，a的取值范围是1，).16分题型三|利用导数解决生活中的实际问题(2016苏北四市期末)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米建立如图61所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数yx 4 2x2(1x9)模型，设PMx，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元(题中所涉及长度单位均为百
12、米)图61(1)求f(x)的解析式；(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价解(1)在题图直角坐标系中，因为曲线C的方程为yx4 2x2(1x9)，且PMx，所以点P坐标为x，x4 2x2，1分直线OB的方程为xy0，2分则点P到直线xy0的距离为xx4 2x224 2x22 4x2，4分又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米，则两条道路总造价为f(x)5x404x25x32x2(1x9).8分(2)因为f(x)5x404x25x32x2(1x9)，所以f(x)5x364x3，10分令f(x)0，得x4，列表如下：x(1,4)4(4,9)f(x)0f(x)单调递减
13、极小值单调递增所以当x4时，函数f(x)有最小值，最小值为f(4)543242 30.12分即当x4时，总造价最低，为30万元.14分注：利用三次均值不等式f(x)5x32x2 5x2x232x2 533 830，当且仅当x2x232x2，即x4时等号成立，照样给分【名师点评】利用导数解决优化问题的五个步骤：(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值；(5)下结论(2016苏州模拟)如图62(1)是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图62(2)所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米(1)当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；(2)
14、若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？(1)(2)图62解(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，1分因为AB2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为x2y21(1x1，y0).3分因为水深CD0.4米，所以OD0.6米，4分在RtODM中，DM OM2OD2 10.620.8(米).所以MN2DM1.6米，故沟中水面宽为1.6米.6分(2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点为P(cos，sin)20 是圆弧BC上的一点，过P作半圆的切线得如图
15、所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为xcos ysin 1.令y0，得E1cos，0，令y1，得F1sin cos ，1.8分设直角梯形OCFE的面积为S1，则横断面的面积为S2S1，则S(CFOE)OC1cos 1sin cos 12sin cos 20.10分Scos cos 2sin sin cos212sin cos2，令S0，解得6，当26时，S0，函数单调递减；当60时，S0，函数单调递增所以6时，面积S取得最小值，最小值为 3.12分此时CF1sin6cos6 33，即当渠底宽为2 33 米时，所挖的土最少.14分命题展望从近几年的高考试题来看，以实际问题为背景，考查学生的
16、建模能力以及应用导数解决最优化问题的能力成为江苏高考的一个热点，2017年仍是命题方向，应引起足够的重视(2015江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连结两条公路的山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图63所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数yax2b(其中a，b为常数)模型 图63(1)求a，b的值；(2)设公路l
17、与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度解(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)将其分别代入yax2b，得a25b40，a400b2.5，解得a1 000，b0.4分(2)由(1)知，y1 000 x2(5x20)，则点P的坐标为t，1 000t2.设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y2 000 x3，则l的方程为y1 000t22 000t3(xt)，6分由此得A3t2，0，B0，3 000t2.故f(t)3t223 000t2232t24106t4，t5,2
18、0.8分设g(t)t24106t4，则g(t)2t16106t5.令g(t)0，解得t10 2.10分当t(5,10 2)时，g(t)0，g(t)是减函数；当t(10 2，20)时，g(t)0，g(t)是增函数.12分从而，当t10 2时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min300，此时f(t)min15 3.13分故当t10 2时，公路l的长度最短，最短长度为15 3千米.14分阅卷心语易错提示(1)导数的几何意义不明，导致l的方程求解错误；(2)运算能力弱，对g(t)求导失分严重防范措施(1)函数yf(x)在xx0处的导数即为过该点曲线切线的斜率(2)熟记导数的基本运算法则
19、及常用的x，ax，ln x的导数1设函数f(x)x2exk(x2ln x)(k为实常数，e2.718 28是自然对数的底数)(1)当k1时，求函数f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0,4)内存在三个极值点，求k的取值范围解(1)由函数f(x)exx2(x2ln x)(x0)，可得f(x)x2exx2x3.1分要使x0时，exx2，只要x2ln x，设(x)x2ln x，(x)12xx2x，2分于是当0 x2时，(x)0；当x2时，(x)0.即(x)x2ln x在x2处取得最小值(2)22ln 20，即x0时，x2ln x，所以exx20，4分于是当0 x2时，f(x)0；当x2时，
20、f(x)0.所以函数f(x)在(0,2)上为减函数，(2，)上为增函数所以f(x)在x2处取得最小值f(2)e2422ln 2.6分(2)因为f(x)x2exkx2x3x2exx2kx，当k0时，exx2 k0，所以f(x)在(0,2)上单调递减，(2,4)上单调递增，不存在三个极值点，所以k0.7分又f(x)x2exkx2x3x2exx2kx，令g(x)exx2，得g(x)e2x2x3，8分易知g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，在x2处取得极小值，得g(2)e24，且g(4)e416，10分于是可得yk与g(x)exx2在(0,4)内有两个不同的交点的条件是ke24，e4
21、16.11分设yk与g(x)exx2 在(0,4)内有两个不同交点的横坐标分别为x1，x2，则有0 x12x24，下面列表分析导函数f(x)及原函数f(x)：x(0，x1)x1(x1,2)2(2，x2)x2(x2,4)4x202exx2k0e24k0e416kf(x)000f(x)递减极小值递增极大值递减极小值递增可知f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1,2)上单调递增，在(2，x2)上单调递减，在(x2,4)上单调递增，13分所以f(x)在区间(0,4)上存在三个极值点即函数f(x)在(0,4)内存在三个极值点的k的取值范围是e24，e416.14分2某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池
22、(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，1分底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元.2分根据题意得200rh160r212 000，所以h 15r(3004r2)，3分从而V(r)r2h5(300r4r3).4分由h0，且r0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5 3)时，V(r)0，故V(r)在(5,5 3)上为减函数.12分由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大.14分专题限时集训（六）点击图标进入