1、（全国I卷）2021届高三数学第二次模拟考试题（二）理注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，集合，则（ ）ABCD2已知复数与在复平面内对应
2、的点关于虚轴对称，且，则（ ）ABCD3执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框内可以填（ ）ABCD4已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知函数的部分图象如图所示给出下列结论：，；，；点为图象的一个对称中心；在上单调递减其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD6在中，则（ ）ABCD7已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD8已知数列的前项和为，则（ ）ABCD9如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平
3、位置恰好位于下一层的两颗正中间小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球若一个小球从正上方落下，落到号位置的概率是（ ）ABCD10已知函数满足和，且当时，则（ ）A0B2C4D511已知双曲线的焦点在，过点的直线与两条渐近线的交点分别为MN两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ）ABCD12已知函数，若恰有四个不同的零点，则a取值范围为（ ）ABCD第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13的展开式中的系数是_（用数字作答）14已知函数，过点作曲线的切线l，则直线l与曲线及y轴围
4、成的图形的面积为_15若实数，满足不等式组，则的最大值为_16已知圆，是圆上两点，点且，则最大值是_三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）数列的前项和为，点在函数的图象上（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和18（12分）甲、乙两组各有位病人，且位病人症状相同，为检验、两种药物的药效，甲组服用种药物，乙组服用种药物，用药后，甲组中每人康复的概率都为，乙组三人康复的概率分别为、（1）设甲组中康复人数为，求的分布列和数学期望；（2）求甲组中康复人数比乙组中康复人数多人的概率19（12分）在如图所示的圆柱中，为圆的直径，是的两个三等分点
5、，都是圆柱的母线（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值20（12分）已知动圆与轴相切且与圆相外切，圆心在轴的上方，点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）已知，过点作直线交曲线于两点，分别以为切点作曲线的切线相交于，当的面积与的面积之比取最大值时，求直线的方程21（12分）已知函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，关于的不等式有解，求的最大值请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知某曲线的参数方程为（为参数）（1）若是曲线上的任意一点，求的最大值；（2）已知过的右焦点，且倾斜角为的直线与交于两点，设线段的中
6、点为，当时，求直线的普通方程23（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，（1）若关于的不等式的整数解有且仅有一个值，当时，求不等式的解集；（2）已知，若，使得成立，求实数的取值范围理 科 数 学 答 案第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】B【解析】由题可得，则，因此，故选B2【答案】C【解析】，又复数与在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以，故选C3【答案】A【解析】执行给定的程序框图，可得：第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；第4次循环：；第5次循环：；第6次循环：，要使得输出的结果为，结合选项，判断框内可以填，
7、故选A4【答案】C【解析】若函数为奇函数，且函数的定义域为，解得，所以，“”是“为奇函数”的充分必要条件，故选C5【答案】D【解析】由图象可知，再由，得，故不正确，正确；由于为图象的一个对称中心，又的最小正周期为，故其全部的对称中心为，当时，对称中心为，故错误；由于为的单调递减区间，的最小正周期为，故的单调递减区间为，当时，即为，故正确，故选D6【答案】A【解析】因为，所以，解得，故选A7【答案】B【解析】如图，三视图的直观图为三棱锥为，且，按如图所示放在长方体中，则其外接球的直径等于长方体的对角线长，且，因为长方体的对角线长为，则外接球半径为，且体积为，故选B8【答案】A【解析】当时，则，且
8、，即，所以两式作差得，即，即，所以，即则，所以，故选A9【答案】C【解析】当小球经过第层时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为，所以，当小球经过第层时，共碰到次钉子，要使得小球经过第号通道，必须满足次向右、次向左滚下，所以，同理可得要使得小球经过号位置（即第层号通道），可由第层号通道向右滚下、也可以由第层号通道向左滚下，因此，故选C10【答案】C【解析】函数满足和，可函数是以为周期的周期函数，且关于对称，又由当时，所以，故选C11【答案】C【解析】由题意，可得如下示意图：其中，知，又，即且，中，有，得，在中，若与x轴夹角为，即，由，即可得，故选C12【答案】B【解析】函数，因此时，函数单
9、调递增；，可得函数在单调递增；在单调递减，可得：在时，函数取得极大值，画出图象：可知：令，时，函数无零点；时，解得或，时，解得，此时函数只有一个零点，舍去，由，可知：此时函数无零点，舍去；，解得或，解得，时，此时函数无零点，舍去；因此，可得由恰有四个不同的零点，解得，则a取值范围为，故选B第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13【答案】【解析】由题设二项式知：，项，即，系数为，故答案为14【答案】【解析】由，过点作曲线的切线l，设切点为，则，所以切线的方程为，由切线过点，则，解得，所以切线的方程为，直线l与曲线及y轴围成的图形的面积为，故答案为15【答案】256【解析】作出可行域，如图内
10、部（含边界），令，作直线，在直线中为直线的纵截距，直线向上平移时增大，所以平行直线，当直线过点时，所以，故答案为25616【答案】【解析】如图所示，设是线段的中点，则，因为，于是，在中，由勾股定理得，整理得，故的轨迹是以为圆心，半径为的圆，故，又由圆的弦长公式可得，故答案为三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知：点()均在二次函数的图象上，故，当时，当时，也适合上式所以（2），18【答案】（1）分布列见解析，期望为；（2）【解析】（1）由题意可知，所以，所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，（2）设乙组中
11、康复人数为，记事件甲组中康复人数比乙组中康复人数多人，则19【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接，因为，是半圆的两个三等分点，所以，又，所以，均为等边三角形，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，平面，平面，所以平面因为，都是圆柱的母线，所以，又因为平面，平面，所以平面又平面，所以平面平面，又平面，所以平面（2）连接，因为是圆柱的母线，所以圆柱的底面，因为为圆的直径，所以，所以直线，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系如图：因为，所以，由题知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，所以由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为20【答案】（1）；（2）【
12、解析】（1）由题意知，到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义知，圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(除去坐标原点)，则的方程为（2）由题意知，在曲线上，直线的斜率存在，设方程为，因为直线不经过点，所以由，可得，设，则，以为切点的切线方程为，即，同理以为切点的切线为，由，故两式做差整理得，所以，两式求和整理得，故，所以交点，设到的距离为，到的距离为，则，设，则，当，即时，取最大值，直线的方程为21【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）【解析】（1）函数的定义域为，当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减（2）设，则当时，有两个根，不妨令，又，由题意舍去当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，存在使成立，即又，令，则函数在上单调递增，即得最大值为22【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意得，当，即时，的最大值为（2），由于，整理得由直线的倾斜角为，依题意易知：，可设直线的参数方程为（为参数），代，得到，易知，设点和点对应的参数为和，所以，则，由参数的几何意义：，所以，所以直线的斜率为，直线的普通方程为23【答案】（1）；（2）【解析】（1）不等式，即，所以，由，解得因为，所以，当时，不等式等价于或或，即或或，故，故不等式的解集为（2）因为，由，可得，又由，使得成立，则，解得或故实数的取值范围为
