1、模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填在题中的横线上)1若空间三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(p,3，q2)共线，则pq_.【解析】易得(1，1,3)，(p1，2，q4)，p3，q2，pq5.【答案】52设命题p：|4x3|1；命题q：x2(2a1)xa(a1)0.若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_. 【导学号：09390093】【解析】先列出命题非p和非q：|4x3|1和x2(2a1)xa(a1)0，分别解得非p：x1或xa1或xa.若非p非q，则a且a11，即0a.【答案】0a3已知双曲线1上一
2、点P到它的右焦点的距离为8，那么点P到它的右准线的距离是_【解析】设到右准线的距离为d，则，所以d.【答案】4设aR，则a1是1的_条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)【解析】由1，得0，即a0或a1，所以a1是1的充分不必要条件【答案】充分不必要5抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是_. 【导学号：09390094】【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐近线的距离d1或d2.【答案】6已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数_.【解析】由题意
3、得ctabt(2，1,3)(1,4，2)(2t，t4，3t2)，即(7,5，)(2t，t4，3t2)，解得【答案】7已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是_(填序号)；2； 53.【解析】对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若满足向量关系式xyz(其中xyz1)，则四点M，A，B，C共面所以满足题意【答案】8双曲线1的离心率e(1,2)，则k的取值范围是_【解析】因为方程1表示双曲线，所以k0，所以a24，b2k，c24k，因为e(1,2)，所以(1,4)，解得k(12,0)【答案】(12,0)9如图1所示，正方体ABCDABCD
4、中，M是AB的中点，则sin，_.图1【解析】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD所在直线为z轴建系易得B(1,1,1)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，故M，(1,1,1)，得cos，所以sin，.【答案】10已知点M(3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程是_【解析】如图所示，设直线MP与直线NP分别与动圆C切于点E，F，则PEPF，MEMB，NFNB.从而PMPNMENFMBNB4221)【答案】x21(x1)11在四面体OABC中，点M在OA
5、上，且OM2MA，N为BC的中点，若，则使G与M，N共线的x的值为_【解析】若G，M，N共线，则存在实数使，即()，(1)(1)()，x1.【答案】112动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆必过定点_【解析】抛物线y28x，p4，其准线方程为x2，焦点为F(2,0)，设动圆圆心为P，由已知点P到准线x20的距离为其半径r，且点P在抛物线上，点P到焦点F的距离也为r，动圆必过定点F(2,0)【答案】(2,0)13如果椭圆1的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是_【解析】设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，得9x36y936,9x36y
6、936 ，两式相减，得9(x1x2)(x1x2)36(y1y2)(y1y2)0，由中点坐标公式4，2，所以k，所以所求直线方程为y2(x4)，即x2y80.【答案】x2y8014设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若FQ2，则直线的斜率等于_【解析】设直线l的方程为yk(x1)，联立消去y得k2x2(2k24)xk20，由根与系数的关系，xAxB，于是xQ1，把xQ带入yk(x1)，得到yQ，根据FQ2，解得k1.【答案】1二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已
7、知p：2x10；q：x22x1m2(m0)若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围【解】由x22x1m20(m0)，得1mx1m，非q：Ax|x1m或x1m，非p：Bx|x2或x10，非p是非q的必要不充分条件，且m0，AB，即m9，注意到当m9时，中等号成立，而中等号不成立，m的取值范围是m9.16(本小题满分14分)在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD.(1)证明：AB平面VAD；(2)求二面角AVDB的平面角的余弦值【解】取AD的中点O作为坐标原点，由题意知，VO底面ABCD，则可建立如图所示的空间直角坐标系设AD2，则A(1,
8、0,0)，D(1，0,0)，B(1,2,0)，V(0,0，)(1)证明：易得(0,2,0)，(1,0，)(0,2,0)(1,0，)0，即ABVA.又ABAD，ADVAA，AB平面VAD.(2)易得(1,0，)设E为DV的中点，连结EA，EB，则E，.(1,0，)0，即EBDV.同理得EADV，AEB为所求二面角的平面角，cos，.故所求二面角的平面角的余弦值为.17(本小题满分14分)椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点(1)求ABF2的周长；(2)若l的倾斜角为，求ABF2的面积. 【导学号：09390095】【解】(1)由椭圆的定义，得AF1AF22
9、a，BF1BF22a，又AF1BF1AB，所以，ABF2的周长ABAF2BF24a.又因为a24，所以a2，故ABF2的周长为8.(2)由条件，得F1(1,0)，因为AB的倾斜角为，所以AB的斜率为1，故直线AB的方程为yx1.由消去x，得7y26y90，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得y1，y2，所以SABF2F1F2|y1y2|2.18(本小题满分16分)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，E为BB1的中点图2(1)证明：ACD1E；(2)求DE与平面AD1E所成角的正弦值 【解】(1)证明：连结BD，ABCDA1B1C1D1是长方体，D1D平面ABCD,
10、又AC平面ABCD，D1DAC，在长方形ABCD中，ABBC，BDAC，又BDD1DD，AC平面BB1D1D, 而D1E平面BB1D1D，ACD1E.(2)如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，D1(0,0,2)，E(1,1,1)，B(1,1,0)，(0,1,1)，(1,0,2)，(1,1,1)设平面AD1E的法向量为n(x，y，z)，则令z1，则n(2，1,1)，cosn，所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为.19(本小题满分16分)如图3，已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且A1
11、PA1B1.图3(1)证明：无论取何值，总有AMPN；(2)当取何值时，直线PN与平面ABC所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值(3)是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由【解】以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，M，N.(1,0,0)(，0,0)，P(，0,1)，.(1)证明：，00，无论取何值，总有AMPN.(2)m是平面ABC的一个法向量，sin |cosm|，又，当时，sin 取得最大值，即取得最大值，此时sin ，cos ，tan 2.(3)假设存在点P满足题意，
12、设n(x，y，z)是平面PMN的法向量，由得令x3，得y12，z22，n(3,12，22)，由(2)知平面ABC的一个法向量为m(0,0,1)，|cosm，n|，化简得4210130(*)，10044131080，方程(*)无解，不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30.20(本小题满分16分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点A(，1)直线yxm交椭圆C于B，D (不与点A重合)两点(1)求椭圆C的方程；(2)ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【解】(1)e，1，a2b2c2，a2，b，c，椭圆的方程为1.(2)设B(x1，y1)，D(x2，y2)，由x2mxm220，82m202m2，x1x2m，x1x2m22.BD |x1x2|，设d为点A到直线BD：yxm的距离，d ，SABDBDd.当且仅当m(2,2)时，等号成立，当m时，ABD的面积最大，最大值为.