1、-1-本章整合BENZHANG ZHENGHE-2-本章整合 知识网络 专题探究-3-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 专题一、利用导数研究函数图象及切线方程1.导数与函数图象的关系通过导数研究函数图象的变化规律,是考试的热点题型.导数绝对值的大小,反映了函数变化的快慢,在图象上表现为陡缓;导数的正负,反映了函数的增减性,在图象上表现为升降.2.导数几何意义的应用导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中,此时关键是抓住切点,它是联结曲线和其切线的“桥梁”,在做题中若题目没有给出切点往往需要设出切点.-4-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三
2、专题四【例 1】已知函数 y=xf(x)的图象如图所示其中 f(x)是函数 f(x)的导函数,下面四个图象中 y=f(x)的图象大致是()-5-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 解析:由图知,当-2x-1 时,xf(x)0,所以-2x-1 时,函数 y=f(x)单调递增;当-1x0,所以 f(x)0,所以-1x0 时,函数 y=f(x)单调递减;当 0 x1 时,xf(x)0,所以 f(x)0,所以 0 x1 时,xf(x)0,所以 f(x)0,所以 x1 时,y=f(x)单调递增.答案:C-6-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四【例 2】
3、已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程.解:由 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,令 x=2-x,得 f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,即 2f(x)-f(2-x)=x2+4x-4,联立 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,得 f(x)=x2,所以 f(x)=2x,f(2)=4,即所求切线斜率为 4,所以切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0.-7-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 专题二、利用导数研究函数的单调性1.求函数
4、y=f(x)单调区间的步骤(1)确定函数 y=f(x)的定义域.(2)求导数 y=f(x).(3)解不等式 f(x)0,函数在单调区间上为增函数;解不等式 f(x)0 时,有 xln a.综上,当 a0 时,f(x)无单调减区间;当 a0 时,f(x)的单调减区间为(-,ln a.(2)因为 f(x)在 R 上单调递增,所以 f(x)=ex-a0 恒成立,即 aex,xR 恒成立.因为 xR 时,ex(0,+),所以 a0.-9-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 专题三、应用导数研究函数的极值与最值1.应用导数求函数极值的一般步骤(1)确定函数 f(x)的定义域.(
5、2)解方程 f(x)=0 的根.(3)检验 f(x)=0 的根的两侧 f(x)的符号.若左正右负,则 f(x)在此根处取得极大值;若左负右正,则 f(x)在此根处取得极小值.否则,此根不是 f(x)的极值点.-10-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 2.求函数 f(x)在闭区间a,b上的最大值、最小值的方法及注意事项(1)方法:求 f(x)在(a,b)内的极值;将求得的极值与 f(a),f(b)相比较,其中最大的一个值为最大值,最小的一个值为最小值.(2)注意事项:当 f(x)在a,b上单调时,其最小值、最大值在区间端点取得;当 f(x)在(a,b)内只有一个极值点
6、时,若在这一点处 f(x)有极大(或极小)值,则可以断定 f(x)在该点处取得最大(或最小)值,这里(a,b)也可以是(-,+).-11-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四【例 4】已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,在曲线 y=f(x)上的点 P(1,f(1)处的切线方程为 y=3x+1,y=f(x)在 x=-2 处有极值.求:(1)f(x)的表达式;(2)y=f(x)在-3,1上的单调区间和最大值.思路分析:要求 f(x)的表达式,需确定 a,b,c 的值,为此利用导数的几何意义写出过点 P的切线方程,结合 f(-2)=0 求解.通过求解不等式 f(x)0
7、,f(x)0;当 x-2,23 时,f(x)0.所以 f(x)在-3,1上的单调增区间是-3,-2)和 23,1 单调减区间是-2,23.因为 f(1)=4,f(x)极大值=f(-2)=13,所以 f(x)在区间-3,1上的最大值为 13.-14-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 专题四、求参数的取值范围已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路(1)转化为不等式在某区间上的恒成立问题,即 f(x)0(或0)恒成立,用分离参数求最值或利用函数性质求解,注意验证使 f(x)=0 的参数是否符合题意.(关键词:分离)(2)构造关于参数的不等式求解,即令 f(x)0(或0
8、)求得用参数表示的单调区间,结合所给区间,利用区间端点列不等式求参数的取值范围.(关键词:端点关系)-15-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四【例 5】已知在函数 f(x)=mx3-x 的图象上,以 N(1,n)为切点的切线的倾斜角为4.(1)求 m,n 的值.(2)是否存在最小的正整数 k,使得不等式 f(x)k-2 000 对于 x-1,3恒成立?如果存在,请求出最小的正整数 k;如果不存在,请说明理由.思路分析:(1)切线的倾斜角为4切线的斜率为 1,即函数 f(x)=mx3-x 在N(1,n)的导数为 1,从而求出 m,进而求出 n.(2)不等式 f(x)k-
9、2 000 对于 x-1,3恒成立f(x)最大值k-2 000,解不等式即可求得 k.-16-本章整合 专题探究 知识网络 专题一 专题二 专题三 专题四 解:(1)依题意,得 f(1)=tan4,即 3m-1=1,m=23.因为 f(1)=n,所以 n=-13.(2)令 f(x)=2x2-1=0,得 x=22.当-1x0,此时 f(x)为增函数;当-22 x 22 时,f(x)=2x2-10,此时 f(x)为减函数;当 22 x0,此时 f(x)为增函数.又 f-22 =23,f(3)=15,因此,当 x-1,3时,f(x)max=15.要使得不等式 f(x)k-2 000 对于 x-1,3恒成立,则 k15+2 000=2015.所以,存在最小的正整数k=2 015使得不等式f(x)k-2 000对于x-1,3恒成立.
