1、学业分层测评(九)双曲线的几何性质(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.双曲线3x2y23的渐近线方程是 _.【解析】令x20，则yx.【答案】yx2.双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于_.【解析】双曲线方程化为标准形式：y21，则有：a21，b2，由题设条件知，2，m.【答案】3.对于方程y21和y2(0且1)所表示的双曲线有如下结论：(1)有相同的顶点； (2)有相同的焦点； (3)有相同的离心率； (4)有相同的渐近线.其中正确的是_.【解析】对于方程y21，a2，b1，c；对于方程y2，a2，b，c，显然a、b、c分别是a、b、c的倍，因此有相同的离心率和渐近线.
2、【答案】(3)(4)4.已知双曲线的焦点为(4,0)，(4,0)，离心率为2，则双曲线的标准方程为_.【解析】e2，c4，a2，b2c2a212，且焦点在x轴上，故标准方程为1.【答案】15.已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为_.【解析】由e，得，ca，ba.而1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所求渐近线方程为yx.【答案】yx6.与椭圆1共焦点，离心率之和为的双曲线标准方程为_.【解析】椭圆的焦点是(0,4)，(0，4)，c4，e，双曲线的离心率等于2，2，a2.b2422212.双曲线的标准方程为1.【答案】17.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆1的长轴端
3、点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为_. 【导学号：24830042】【解析】由已知得，双曲线焦点在x轴上，且c5，a3，双曲线方程为1.渐近线方程为0，即0.【答案】4x3y08.已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是_. 【解析】如图，设MF1的中点为P，由题意知MF1PF2.在RtPF1F2中，PF2F1F2sin 602cc.PF1F1F2cos 602cc，PF2PF12a，ac.e1.【答案】1 二、解答题9.求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方
4、程.【解】将9y24x236变形为1，即1，a3，b2，c，因此顶点为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程：yxx.10.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)虚轴长为12，离心率为；(2)一条渐近线方程是x2y0，且过点P(4,3).【解】(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0).由题知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，标准方程为1或1.(2)方法一：双曲线的一条渐近线方程为x2y0，当x4时，y2yP3.双曲线的焦点在y轴上.从而有，b2a.设双曲线方程为1，由于点P(4,3)在此双曲
5、线上，1，解得a25.双曲线方程为1.方法二：双曲线的一条渐近线方程为x2y0，即y0，双曲线的渐近线方程为y20.设双曲线方程为y2(0)，双曲线过点P(4,3)，32，即5.所求双曲线方程为y25，即1.能力提升1.双曲线1的焦点到渐近线的距离为_.【解析】由双曲线1，知a2，b2，c4，焦点F1(4,0)，F2(4,0)，渐近线方程yx.由双曲线对称性知，任一焦点到任一渐近线的距离都相等.d2.【答案】22.已知点F1、F2分别是双曲线1的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF1是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是_.【解析】如图所示.由于F1ABF1BA，ABF1为锐角三角形，故AF1B为锐角.故只需要AF1F245即可，即1，1即c2a22ac.即e22e10，解得1e1，故1e1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线离心率e的取值范围.【解】设直线l的方程为1，即bxayab0.由点到直线的距离公式，且a1，得点(1,0)到直线l的距离d1，点(1,0)到直线l的距离d2.sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.e，52e2，25(e21)4e4，即4e425e2250，e25(e1).e，即e的取值范围为.